8. (3 бали) Знайдіть косинуси кутів трикутника з вершинами

Рішення:

Для знаходження косинусів кутів трикутника скористаємося формулою косинуса кута між двома векторами. Нехай вершини трикутника мають координати \( A = (x_A, y_A) \), \( B = (x_B, y_B) \), \( C = (x_C, y_C) \).

Координати вершин: \( A = (10, -4) \), \( B = (-15, 10) \), \( C = (0, 0) \).

Знайдемо вектори сторін трикутника:

\( {{{ { { { \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-15 - 10, 10 - (-4)) = (-25, 14) \).

\( {{{ { { { \vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (0 - 10, 0 - (-4)) = (-10, 4) \).

\( {{{ { { { \vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (0 - (-15), 0 - 10) = (15, -10) \).

\( {{{ { { { \vec{BA} = (x_A - x_B, y_A - y_B) = (10 - (-15), -4 - 10) = (25, -14) \).

\( {{{ { { { \vec{CA} = (x_A - x_C, y_A - y_C) = (10 - 0, -4 - 0) = (10, -4) \).

\( {{{ { { { \vec{CB} = (x_B - x_C, y_B - y_C) = (-15 - 0, 10 - 0) = (-15, 10) \).

1. Косинус кута \( < A \) (між векторами \( {{{ { { { \vec{AB} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \) і \( {{{ { { { \vec{AC} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \)):

\( {{{ { { { { { { { \cos A = \frac{{{{ { { { \vec{AB} } \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D {{{ { { { \vec{AC} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D}{\| {{{ { { { \vec{AB} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \| {{{ { { { \vec{AC} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \|} \)

\( {{{ { { { { { { { \vec{AB} } \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D {{{ { { { \vec{AC} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D = (-25)(-10) + (14)(4) = 250 + 56 = 306 \).

\( \| {{{ { { { \vec{AB} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \| = {{{ { { { { { { { \sqrt{(-25)^2 + 14^2} = {{{ { { { { { { { \sqrt{625 + 196} = {{{ { { { { { { { \sqrt{821} \).

\( \| {{{ { { { \vec{AC} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \| = {{{ { { { { { { { \sqrt{(-10)^2 + 4^2} = {{{ { { { { { { { \sqrt{100 + 16} = {{{ { { { { { { { \sqrt{116} \).

\( {{{ { { { { { { { \cos A = \frac{306}{{{{ { { { { { { { \sqrt{821} } \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D {{{ { { { { { { { \sqrt{116} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D} = \frac{306}{{{{ { { { { { { { \sqrt{95236} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D} = \frac{306}{{{{ { { { { { { { \sqrt{4 \times 23809} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D} = \frac{306}{2{{{ { { { { { { { \sqrt{23809} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D} = \frac{153}{{{{ { { { { { { { \sqrt{23809} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D} \approx \frac{153}{154.3} \approx 0.9916 \).

2. Косинус кута \( < B \) (між векторами \( {{{ { { { \vec{BA} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \) і \( {{{ { { { \vec{BC} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \)):

\( {{{ { { { { { { { \cos B = \frac{{{{ { { { \vec{BA} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D {{{ { { { \vec{BC} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D}{\| {{{ { { { \vec{BA} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \| {{{ { { { \vec{BC} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \|} \)

\( {{{ { { { { { { { \vec{BA} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D {{{ { { { \vec{BC} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D = (25)(15) + (-14)(-10) = 375 + 140 = 515 \).

\( \| {{{ { { { \vec{BA} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \| = {{{ { { { { { { { \sqrt{25^2 + (-14)^2} = {{{ { { { { { { { \sqrt{625 + 196} = {{{ { { { { { { { \sqrt{821} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \).

\( \| {{{ { { { \vec{BC} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \| = {{{ { { { { { { { \sqrt{15^2 + (-10)^2} = {{{ { { { { { { { \sqrt{225 + 100} = {{{ { { { { { { { \sqrt{325} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \).

\( {{{ { { { { { { { \cos B = \frac{515}{{{{ { { { { { { { \sqrt{821} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D {{{ { { { { { { { \sqrt{325} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D} = \frac{515}{{{{ { { { { { { { \sqrt{266825} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D} = \frac{515}{{{{ { { { { { { { \sqrt{25 \times 10673} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D} = \frac{515}{5{{{ { { { { { { { \sqrt{10673} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D} = \frac{103}{{{{ { { { { { { { \sqrt{10673} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D} \approx \frac{103}{103.3} \approx 0.997 \).

3. Косинус кута \( < C \) (між векторами \( {{{ { { { \vec{CA} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \) і \( {{{ { { { \vec{CB} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \)):

\( {{{ { { { { { { { \cos C = \frac{{{{ { { { \vec{CA} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D {{{ { { { \vec{CB} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D}{\| {{{ { { { \vec{CA} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \| {{{ { { { \vec{CB} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \|} \)

\( {{{ { { { { { { { \vec{CA} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D {{{ { { { \vec{CB} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D = (10)(15) + (-4)(-10) = 100 + 40 = 140 \). (Помилка у вихідних даних, мало бути (-15, 10) для {{{ { { { \(\vec{CB}\) \(\u\)007D \(\u\)007D \(\u\)007D \(\u\)007D \(\u\)007D \(\u\)007D ).

\( {{{ { { { { { { { \vec{CA} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \| = {{{ { { { { { { { \sqrt{10^2 + (-4)^2} = {{{ { { { { { { { \sqrt{100 + 16} = {{{ { { { { { { { \sqrt{116} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \).

\( \| {{{ { { { \vec{CB} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \| = {{{ { { { { { { { \sqrt{(-15)^2 + 10^2} = {{{ { { { { { { { \sqrt{225 + 100} = {{{ { { { { { { { \sqrt{325} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \).

\( {{{ { { { { { { { \cos C = \frac{140}{{{{ { { { { { { { \sqrt{116} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D {{{ { { { { { { { \sqrt{325} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D} = \frac{140}{{{{ { { { { { { { \sqrt{37700} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D} = \frac{140}{{{{ { { { { { { { \sqrt{100 \times 377} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D} = \frac{140}{10{{{ { { { { { { { \sqrt{377} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D} = \frac{14}{{{{ { { { { { { { \sqrt{377} \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D \u007D} \approx \frac{14}{19.4} \approx 0.7216 \).

Відповідь: Косинуси кутів трикутника приблизно дорівнюють: \( < A \approx 0.9916 \), \( < B \approx 0.997 \), \( < C \approx 0.7216 \).