8√3 cos²(π/12) - 4√3

Решение:

Для вычисления значения выражения \( 8\sqrt{3} \cos^2{\frac{\pi}{12}} - 4\sqrt{3} \) воспользуемся формулой понижения степени:

\( \cos^2{\alpha} = \frac{1 + \cos{2\alpha}}{2} \).

Подставим \( \alpha = \frac{\pi}{12} \):

\[ \cos^2{\frac{\pi}{12}} = \frac{1 + \cos{\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right)}}{2} = \frac{1 + \cos{\frac{\pi}{6}}}{2} \]

Значение \( \cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\[ \cos^2{\frac{\pi}{12}} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ 8\sqrt{3} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - 4\sqrt{3} \]

\[ 2\sqrt{3} (2 + \sqrt{3}) - 4\sqrt{3} \]

\[ 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 4\sqrt{3} \]

\[ 4\sqrt{3} + 2 \cdot 3 - 4\sqrt{3} \]

\[ 4\sqrt{3} + 6 - 4\sqrt{3} \]

\[ 6 \]

Ответ: 6.