8.5. Пусть на стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка E так, что лучи AE и BC пересекаются в точке F. Найдите: а) EF и FC, если DE = 8 см, EC = 4 см, BC = 7 см, AE = 10 см; б) DE и EC, если AB = 8 см, AD = 5 см, CF = 2 см.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Так как \(DE\) и \(EC\) лежат на одной стороне параллелограмма, а \(AB\parallel CD\), получаем подобные треугольники. Поэтому

\[\frac{EF}{AE}=\frac{EC}{DE}=\frac{CF}{AD}.\]

а)

\[\frac{EC}{DE}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.\]

Тогда

\[EF=AE\cdot\frac{1}{2}=10\cdot\frac{1}{2}=5\text{ см}.\]

В параллелограмме \(AD=BC=7\) см, поэтому

\[FC=AD\cdot\frac{1}{2}=7\cdot\frac{1}{2}=3.5\text{ см}.\]

б) В параллелограмме \(CD=AB=8\) см. Из подобия:

\[\frac{EC}{DE}=\frac{CF}{AD}=\frac{2}{5}.\]

Значит, \(EC:DE=2:5\). Пусть \(EC=2k\), \(DE=5k\). Тогда

\[2k+5k=8,\quad 7k=8,\quad k=\frac{8}{7}.\]

Следовательно,

\[EC=2\cdot\frac{8}{7}=\frac{16}{7}\text{ см},\qquad DE=5\cdot\frac{8}{7}=\frac{40}{7}\text{ см}.\]

Ответ: а) \(EF=5\) см, \(FC=3.5\) см; б) \(DE=\frac{40}{7}\) см, \(EC=\frac{16}{7}\) см.