8. \(5^{x} - 20 \cdot (\sqrt{5})^{x} - 125 = 0\)

Решение:

Данное уравнение является показательным. Преобразуем его, чтобы свести к квадратному.

1. Заметим, что \( \sqrt{5} = 5^{1/2} \). Тогда \( (\sqrt{5})^{x} = (5^{1/2})^{x} = 5^{x/2} \).
2. Выразим \( 5^x \) через \( 5^{x/2} \): \( 5^x = (5^{x/2})^2 \).
3. Пусть \( y = 5^{x/2} \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 20y - 125 = 0 \).
4. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:
• \( D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-125) = 400 + 500 = 900 \)
• \( \sqrt{D} = \sqrt{900} = 30 \)
• \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 30}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
• \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 30}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)
5. Вернёмся к замене \( y = 5^{x/2} \).
• Случай 1: \( 5^{x/2} = 25 \)
• Так как \( 25 = 5^2 \), то \( 5^{x/2} = 5^2 \).
• Приравнивая показатели степеней, получим: \( \frac{x}{2} = 2 \)
• \( x = 4 \)
• Случай 2: \( 5^{x/2} = -5 \)
• Показательная функция \( 5^{x/2} \) всегда положительна, поэтому это уравнение не имеет решений.

Ответ: x = 4.