8.72. Равносильны ли неравенства: а) (2x + 5)(3 − 2x) < 0 и (3 − 2x)/(2x + 5) < 0; б) (3x − 5)(5 + 2x) ≥ 0 и (3x − 5)/(5 + 2x) ≥ 0?

а) Рассмотрим нули множителей: \(2x+5=0\) при \(x=-\frac{5}{2}\), \(3-2x=0\) при \(x=\frac{3}{2}\).

В обоих неравенствах требуется, чтобы множители имели разные знаки. При \(x=-\frac{5}{2}\) произведение равно нулю, а дробь не определена; поэтому эта точка не входит в решения обоих неравенств.

Решение обоих неравенств: \(x\in\left(-\infty; -\frac{5}{2}\right)\cup\left(\frac{3}{2};+\infty\right)\).

Следовательно, неравенства равносильны.

б) Рассмотрим нули множителей: \(3x-5=0\) при \(x=\frac{5}{3}\), \(5+2x=0\) при \(x=-\frac{5}{2}\).

Для произведения точка \(x=-\frac{5}{2}\) входит в решение, поскольку произведение равно нулю. Для дроби эта точка исключается, поскольку знаменатель равен нулю.

Для первого неравенства: \(x\in\left(-\infty; -\frac{5}{2}\right]\cup\left[\frac{5}{3};+\infty\right)\).

Для второго неравенства: \(x\in\left(-\infty; -\frac{5}{2}\right)\cup\left[\frac{5}{3};+\infty\right)\).

Следовательно, неравенства неравносильны.

Ответ: а) равносильны; б) неравносильны.