8. ∠A:∠B=2:1, AC = ?

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90 градусов) сумма острых углов равна 90 градусов: \( \angle A + \angle B = 90^{\circ} \).
2. Из условия задачи известно, что \( \angle A : \angle B = 2:1 \). Это означает, что \( \angle A = 2x \) и \( \angle B = x \) для некоторого значения \( x \).
3. Подставляем в уравнение суммы углов: \( 2x + x = 90^{\circ} \).
4. \( 3x = 90^{\circ} \).
5. \( x = 90^{\circ} : 3 = 30^{\circ} \).
6. Таким образом, \( \angle B = 30^{\circ} \) и \( \angle A = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
7. В треугольнике ABC, катет AC лежит напротив угла B, а гипотенуза AB = 14.
8. Используем синус угла B: \( \sin B = \frac{AC}{AB} \).
9. \( \sin 30^{\circ} = \frac{AC}{14} \).
10. Значение \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \).
11. \( \frac{1}{2} = \frac{AC}{14} \).
12. Умножим обе стороны на 14: \( AC = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7 \).

Ответ: 7