8. а) Длина прямоугольника равна m см, а ширина — n см, m и n — натуральные числа. Может ли Азиа разделить данный прямоугольник на квадраты со стороной 2 см? Обоснуйте свой ответ. б) На сколько квадратов можно разделить прямоугольник с измерениями m = 280 и n = 145 при условии, что квадраты должны быть равными, а сторона квадрата должна быть целым числом?

а) Это возможно тогда и только тогда, когда обе стороны прямоугольника делятся на 2: m и n должны быть чётными. Тогда прямоугольник можно разбить на квадраты со стороной 2 см. Если хотя бы одна сторона нечётная, такое разбиение невозможно.

б) Пусть сторона каждого квадрата равна целому числу d сантиметров. Она должна делить и 280, и 145. Наибольший общий делитель этих чисел равен 5, поэтому возможны только d = 1 и d = 5.

При стороне 1 см получится 280 × 145 = 40 600 квадратов. При стороне 5 см — (280 ÷ 5) × (145 ÷ 5) = 56 × 29 = 1 624 квадрата.

Если подразумеваются квадраты наибольшего возможного размера, ответ — 1 624 квадрата. При буквальном условии возможны оба указанных количества.