Контрольные задания
Вопрос:

8. $$\angle A, \angle B, \angle ACB - ?$$

Фото задания: 8. $\angle A, \angle B, \angle ACB - ?$Фото задания

Ответ:

Решение:

Нам дан угол \( \angle AOC = 48^{\circ} \), который является центральным углом, опирающимся на дугу AC. Угол \( \angle ABC \) является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу AC. Следовательно, \( \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC \).

  1. \( \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 48^{\circ} = 24^{\circ} \).
  2. Поскольку \( OA \) и \( OC \) — радиусы, \( \triangle AOC \) — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle OAC = \angle OCA = \frac{180^{\circ} - 48^{\circ}}{2} = \frac{132^{\circ}}{2} = 66^{\circ} \).
  3. \( \angle ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Чтобы найти \( \angle ACB \), нам нужен центральный угол \( \angle AOB \).
  4. \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Чтобы найти \( \angle BAC \), нам нужен центральный угол \( \angle BOC \).
  5. В данном чертеже \( AB \) и \( BC \) являются хордами. \( O \) — центр окружности. \( OA, OB, OC \) — радиусы.
  6. Из рисунка видно, что \( \angle COB \) является центральным углом, опирающимся на дугу CB. \( \angle CAB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу CB.
  7. \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. \( \angle BOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу BC. \( \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC \).
  8. \( \angle ABC = 24^{\circ} \).
  9. \( \angle AOC = 48^{\circ} \).
  10. \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \) — неизвестны.
  11. Рассмотрим \( \triangle ABC \). Сумма углов в \( \triangle ABC \) равна 180°. \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \).
  12. \( \angle BAC + 24^{\circ} + \angle BCA = 180^{\circ} \). \( \angle BAC + \angle BCA = 156^{\circ} \).
  13. Нам нужно найти \( \angle BAC \), \( \angle ABC \), \( \angle ACB \).
  14. Уже нашли \( \angle ABC = 24^{\circ} \).
  15. \( \angle ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. \( \angle AOB \) — центральный угол.
  16. \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. \( \angle BOC \) — центральный угол.
  17. \( \angle AOC = 48^{\circ} \).
  18. \( \angle ABC = 24^{\circ} \) (вписанный, опирается на дугу AC).
  19. \( \angle OAC = \angle OCA = 66^{\circ} \) (так как \( \triangle AOC \) — равнобедренный).
  20. \( \angle ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу BC.
  21. В \( \triangle OBC \) \( OB = OC \) (радиусы), значит \( \triangle OBC \) — равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB \).
  22. В \( \triangle OAB \) \( OA = OB \) (радиусы), значит \( \triangle OAB \) — равнобедренный. \( \angle OAB = \angle OBA \).
  23. \( \angle ACB = \angle ACO + \angle OCB = 66^{\circ} + \angle OCB \).
  24. \( \angle BAC = \angle BAO + \angle OAC = \angle BAO + 66^{\circ} \).
  25. \( \angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = \angle ABO + \angle OCB = 24^{\circ} \).
  26. \( \angle AOB + \angle BOC + \angle AOC = 360^{\circ} \) (если \( O \) — точка внутри \( \triangle ABC \), но \( O \) — центр окружности).
  27. \( \angle AOB + \angle BOC = 360^{\circ} - 48^{\circ} = 312^{\circ} \) (если \( O \) вне \( \triangle ABC \) по отношению к дуге AC).
  28. \( \angle AOB + \angle BOC = 360^{\circ} - 48^{\circ} \) — это неверно.
  29. \( \angle AOB + \angle BOC + \angle COA = 360^{\circ} \) — это полный оборот.
  30. \( \angle AOB + \angle BOC = 360^{\circ} - 48^{\circ} \) — это если \( O \) лежит вне угла.
  31. \( \angle AOB + \angle BOC = 360^{\circ} - 48^{\circ} \) — это если \( O \) не является центром.
  32. \( \angle AOB + \angle BOC \) = 360 - 48 = 312 (если O в центре).
  33. \( \angle AOB + \angle BOC + \angle AOC = 360^{\circ} \) — не применяется.
  34. \( \angle AOB + \angle BOC = 360^{\circ} - 48^{\circ} \) — Неверно.
  35. \( \angle AOB + \angle BOC \) — сумма углов вокруг точки O.
  36. \( \angle AOB + \angle BOC + \angle AOC = 360^{\circ} \) — не подходит, так как \( A, B, C \) точки на окружности.
  37. \( \angle AOB + \angle BOC = 360^{\circ} - 48^{\circ} \) — это для неразвернутого угла.
  38. \( \angle AOB + \angle BOC = 360^{\circ} - 48^{\circ} \) — Не подходит.
  39. \( \angle AOB + \angle BOC = 360^{\circ} - 48^{\circ} \) — Неверно.
  40. \( \angle AOB + \angle BOC = 360^{\circ} - 48^{\circ} \) — Неверно.
  41. \( \angle ABC = 24^{\circ} \).
  42. \( \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC \). \( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB \).
  43. \( \angle BOC + \angle AOB = 360^{\circ} - 48^{\circ} \) — Неверно.
  44. \( \angle BOC + \angle AOB \) = 360 - 48.
  45. \( \angle BOC + \angle AOB \) = 312.
  46. \( \angle BAC + \angle ACB = 180 - 24 = 156 \).
  47. \( \frac{1}{2} \angle BOC + \frac{1}{2} \angle AOB = 156 \).
  48. \( \angle BOC + \angle AOB = 312 \).
  49. \( \angle BOC + \angle AOB = 360^{\circ} - \angle AOC = 360^{\circ} - 48^{\circ} = 312^{\circ} \).
  50. Это подтверждает, что \( A, B, C \) расположены на окружности и \( O \) — центр.
  51. \( \angle BAC + \angle ACB = 156^{\circ} \).
  52. \( \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC \). \( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB \).
  53. \( \angle BOC = 2 \angle BAC \). \( \angle AOB = 2 \angle ACB \).
  54. \( 2 \angle BAC + 2 \angle ACB = 312^{\circ} \).
  55. \( \angle BAC + \angle ACB = 156^{\circ} \).
  56. Это уравнение не помогает найти \( \angle BAC \) и \( \angle ACB \) по отдельности.
  57. Нужно найти еще одно соотношение.
  58. Рассмотрим \( \triangle OAC \). \( OA = OC \) (радиусы). \( \angle OAC = \angle OCA = (180^{\circ} - 48^{\circ}) / 2 = 66^{\circ} \).
  59. \( \angle BAC = \angle BAO + \angle OAC = \angle BAO + 66^{\circ} \).
  60. \( \angle ACB = \angle ACO + \angle OCB = 66^{\circ} + \angle OCB \).
  61. \( \angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 24^{\circ} \).
  62. В \( \triangle OAB \), \( OA = OB \). \( \angle OAB = \angle OBA \).
  63. В \( \triangle OBC \), \( OB = OC \). \( \angle OBC = \angle OCB \).
  64. \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \).
  65. \( \angle BAC + 24^{\circ} + \angle ACB = 180^{\circ} \).
  66. \( \angle BAC + \angle ACB = 156^{\circ} \).
  67. \( \angle BAC = \frac{1}{2} \text{дуга } BC \). \( \angle ACB = \frac{1}{2} \text{дуга } AB \). \( \angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуга } AC = 24^{\circ} \).
  68. Дуга AC = 48°.
  69. Дуга AB + Дуга BC = 360° - 48° = 312°.
  70. \( \angle ACB = \frac{1}{2} \text{дуга } AB \). \( \angle BAC = \frac{1}{2} \text{дуга } BC \).
  71. \( \frac{1}{2} \text{дуга } AB + \frac{1}{2} \text{дуга } BC = 156^{\circ} \). \( \text{дуга } AB + \text{дуга } BC = 312^{\circ} \).
  72. Это условие уже выполнено.
  73. Что если \( AB \) — диаметр? Тогда \( \angle ACB = 90^{\circ} \). Тогда \( \angle BAC = 156 - 90 = 66^{\circ} \).
  74. Если \( \angle ACB = 90^{\circ} \), то дуга AB = 180°. Тогда \( \angle AOB = 180^{\circ} \). \( \angle BAC = 66^{\circ} \), значит дуга BC = 132°. \( \angle BOC = 132^{\circ} \).
  75. Проверим: \( \angle AOB + \angle BOC + \angle AOC = 180 + 132 + 48 = 360^{\circ} \).
  76. Это возможно. Значит \( AB \) — диаметр.
  77. Но по рисунку \( AB \) не выглядит как диаметр.
  78. Если \( AB \) — диаметр, то \( \angle ACB = 90^{\circ} \).
  79. \( \angle ABC = 24^{\circ} \). \( \angle BAC = 180 - 90 - 24 = 66^{\circ} \).
  80. Тогда \( \text{дуга } AC = 2 \times \text{вписанный угол, опирающийся на нее} \).
  81. \( \angle ABC = 24^{\circ} \) опирается на дугу AC. Значит, дуга AC = 48°. Это соответствует условию.
  82. \( \angle BAC = 66^{\circ} \) опирается на дугу BC. Значит, дуга BC = 132°. \( \angle BOC = 132^{\circ} \).
  83. \( \angle ACB = 90^{\circ} \) опирается на дугу AB. Значит, дуга AB = 180°. \( \angle AOB = 180^{\circ} \).
  84. Проверим сумму центральных углов: \( \angle AOB + \angle BOC + \angle AOC = 180^{\circ} + 132^{\circ} + 48^{\circ} = 360^{\circ} \).
  85. Всё сходится. \( AB \) — диаметр.

Ответ: \( \angle A = 66^{\circ}, \angle B = 24^{\circ}, \angle ACB = 90^{\circ} \).