№ 8. АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 38°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Задача №8

Дано:

• Окружность с центром в точке О.
• АС и BD — диаметры.
• Угол \( ∠ACB = 38^° \).

Найти: угол \( ∠AOD \).

Решение:

1. Угол \( ∠ACB \) является вписанным углом, опирающимся на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен удвоенному вписанному углу.

2. Центральный угол, опирающийся на дугу AB, — это угол \( ∠AOB \). Следовательно, \( ∠AOB = 2 · ∠ACB = 2 · 38^° = 76^° \).

3. Углы \( ∠AOB \) и \( ∠COD \) являются вертикальными углами, так как они образованы пересечением двух прямых (диаметров АС и BD). Вертикальные углы равны.

4. Следовательно, \( ∠COD = ∠AOB = 76^° \).

5. Углы \( ∠AOD \) и \( ∠BOC \) также являются вертикальными углами.

6. Дуга AC — это полуокружность, ее градусная мера равна \( 180^° \).

7. Дуга AB + Дуга BC = \( 180^° \).

8. Угол \( ∠AOD \) и угол \( ∠BOC \) вместе составляют развернутый угол \( ∠AOC = 180^° \) или \( ∠BOD = 180^° \).

9. Можно найти дугу AD. Дуга AC = \( 180^° \). Угол \( ∠ABC \) — вписанный, опирается на дугу AC. Но это нам не поможет.

10. Проще найти угол \( ∠AOD \) как смежный с \( ∠AOB \) по прямой BD, но это неправильно. АС и BD — диаметры.

11. Дуга AD + Дуга DC = Дуга AC = \( 180^° \). Угол \( ∠ABC \) опирается на дугу AC. Это нам не поможет.

12. Угол \( ∠ADC \) опирается на дугу AC. Это нам не поможет.

13. Угол \( ∠BCD \) опирается на дугу BD. Это нам не поможет.

14. Угол \( ∠BAD \) опирается на дугу BD. Это нам не поможет.

15. Мы нашли \( ∠AOB = 76^° \). Угол \( ∠AOD \) и \( ∠BOC \) являются вертикальными. Угол \( ∠AOC = 180^° \) (развернутый). Угол \( ∠AOB \) и \( ∠AOD \) являются смежными, так как лежат на прямой BD. Это неверно. Они лежат на прямой AC, но это угол \( ∠AOB \) и \( ∠BOC \) или \( ∠AOD \) и \( ∠COD \).

16. Углы \( ∠AOB \) и \( ∠AOD \) являются смежными, если точка B лежит на прямой, проходящей через A, O, D. Это не так.

17. Углы \( ∠AOB \) и \( ∠AOD \) не смежные и не вертикальные.

18. AC — диаметр. Угол \( ∠ABC \) вписан в полуокружность, значит \( ∠ABC = 90^° \). Это нам не нужно.

19. BD — диаметр. Угол \( ∠BCD = 90^° \). Это нам не нужно.

20. Угол \( ∠ACB = 38^° \). Угол \( ∠CAD \) опирается на ту же дугу CD, что и угол \( ∠CBD \). Угол \( ∠BDC \) опирается на дугу BC, как и угол \( ∠BAC \).

21. Угол \( ∠AOB = 76^° \) (центральный, равен удвоенному вписанному \( ∠ACB = 38^° \) - это ошибка. \( ∠ACB \) опирается на дугу AB, поэтому центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен \( 2 · 38^° = 76^° \). Но это угол \( ∠AOB \). Так как AC и BD — диаметры, то угол \( ∠ACB \) опирается на дугу AB. Значит, центральный угол \( ∠AOB = 2 · 38^° = 76^° \). Этот шаг верен.

22. Углы \( ∠AOD \) и \( ∠BOC \) — вертикальные. Углы \( ∠AOB \) и \( ∠COD \) — вертикальные.

23. Так как AC — диаметр, то \( ∠AOC = 180^° \).

24. Угол \( ∠AOB \) и \( ∠BOC \) — смежные, их сумма равна \( 180^° \).

25. \( ∠AOB = 76^° \).

26. \( ∠BOC = 180^° - ∠AOB = 180^° - 76^° = 104^° \).

27. Угол \( ∠AOD \) равен \( ∠BOC \) как вертикальные углы.

28. Следовательно, \( ∠AOD = 104^° \).

Ответ: \( 104^° \).