8. АВСД — прямоугольник. ∠ВРК = 60°, ∠КРД = 75°, РС = 8, КР = 4. Найти периметр АВСД.

В прямоугольном треугольнике ВРК гипотенуза КР = 4, а угол ВРК равен 60°. Поэтому \(BP = KP\cdot\cos 60^\circ = 4\cdot\frac{1}{2}=2\).

Так как В, Р и С лежат на одной стороне прямоугольника, \(BC=BP+PC=2+8=10\).

Поскольку \(\angle BPK=180^\circ-60^\circ=120^\circ\), угол между лучами РК и РС равен 60°. Тогда \(\angle CPD=60^\circ-?\) — удобнее рассмотреть направление: из \(\angle KPD=75^\circ\) следует, что угол между РС и РД равен \(180^\circ-60^\circ-75^\circ=45^\circ\). В прямоугольном треугольнике РСД угол при С равен 90°, поэтому \(\angle РДС=45^\circ\) и \(CD=PC=8\).

Периметр прямоугольника: \(P=2(BC+CD)=2(10+8)=36\).

Ответ: 36.