8. Библиотеке нужно переплести 4500 книг. Одна мастерская может переплести эти книги за 30 дней, а другая за 45. За сколько дней могут выполнить заказ обе эти мастерские, работая одновременно?

Решение:

1. Найдем, какую часть книг переплетает первая мастерская за 1 день: \[ \frac{1}{30} \] книг.
2. Найдем, какую часть книг переплетает вторая мастерская за 1 день: \[ \frac{1}{45} \] книг.
3. Найдем, какую часть книг обе мастерские переплетают вместе за 1 день: \[ \frac{1}{30} + \frac{1}{45} = \frac{3}{90} + \frac{2}{90} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18} \] книг.
4. Чтобы найти, за сколько дней обе мастерские выполнят заказ, разделим общее количество книг на производительность обеих мастерских за 1 день: \[ 4500 : \frac{1}{18} = 4500 \times 18 = 81000 \] книг.
5. Так как нам нужно найти, за сколько дней выполнят заказ, нужно посчитать, сколько дней им потребуется. Для этого количество книг делим на их совместную производительность.
6. Произведение равно: \[ \frac{1}{\frac{1}{30} + \frac{1}{45}} = \frac{1}{\frac{3+2}{90}} = \frac{1}{\frac{5}{90}} = \frac{90}{5} = 18 \] дней.

Ответ: 18 дней.