8. Биссектриса угла BCM параллелограмма CBEM пересекает прямую BE в точке P. а) Докажите, что треугольник CBP равнобедренный. Возможны три варианта расположения точки P (дополните рисунки).

Так как параллелограмм CBEM имеет противоположные стороны, параллельные друг другу, то \(BE \parallel CM\).

Поскольку \(CP\) — биссектриса угла \(BCM\), то

\[\angle BCP=\angle PCM.\]

Так как лучи \(PB\) и \(PM\) лежат на прямой, параллельной \(CM\), то угол между \(CP\) и \(PB\) равен углу между \(CP\) и \(CM\):

\[\angle CPB=\angle PCM.\]

Следовательно, \(\angle BCP=\angle CPB\). В треугольнике \(CBP\) против равных углов лежат равные стороны:

\[BC=BP.\]

Значит, треугольник \(CBP\) равнобедренный, его основание — \(CP\).

Заполнение вариантов:

1. Вариант 1: \(B-P-E\), то есть точка \(P\) находится между точками \(B\) и \(E\).
2. Вариант 2: точки \(P\) и \(B\) совпадают.
3. Вариант 3: \(B-E-P\), то есть точка \(E\) находится между точками \(B\) и \(P\).

Ответ: \(BC=BP\); треугольник \(CBP\) равнобедренный. Варианты: 1) \(B-P-E\); 2) \(P=B\); 3) \(B-E-P\).