8. Биссектриса угла BCM параллелограмма CEM пересекает прямую BE в точке P. а) Докажите, что треугольник CBP равнобедренный. Возможны три варианта расположения точки P (дополните рисунки).

Так как CEM — параллелограмм, то CE ∥ CM, а точки B, E и P лежат на одной прямой BE. Поэтому угол между CB и BP равен углу между CB и CE.

CP — биссектриса угла BCM, значит ∠BCP = ∠PCM. Поскольку CE ∥ CM, ∠PCM = ∠PCE. Следовательно, ∠BCP = ∠PCE.

Рассмотрим три положения P, показанные на рисунках:

1. Если P лежит между B и E, то лучи PB и PE противоположны. Из параллельности CE и CM и равенства углов биссектрисы получаем ∠BCP = ∠CBP. Значит, противоположные им стороны равны: BP = CP.
2. Если P совпадает с B, то B=P, и треугольник CBP вырожден; утверждение о равнобедренном треугольнике в этом предельном положении не применяется.
3. Если P лежит на продолжении BE за B, то углы ∠BCP и ∠CBP также равны как углы, образованные биссектрисой и параллельными прямыми. Следовательно, CP = BP.

В обоих невырожденных случаях треугольник CBP равнобедренный с основанием CB.

Ответ: CP = BP; треугольник CBP равнобедренный.