8. Числа а и в не являются взаимно простыми, а их НОК равно 100. Какое наименьшее значение может принимать a+b? (есть общий делитель кроме 1)

Решение:

Если числа a и b не являются взаимно простыми, значит, у них есть общий делитель, отличный от 1. НОК (наименьшее общее кратное) чисел a и b равно 100.

НОК(a, b) = 100. Это значит, что a и b являются делителями числа 100.

Разложим число 100 на простые множители: \( 100 = 2^2 \cdot 5^2 \).

Делители числа 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

Нам нужно найти такие два числа a и b из этого списка (они могут быть одинаковыми), у которых есть общий делитель кроме 1, и сумма a + b будет наименьшей.

Перечислим возможные пары чисел a и b, НОК которых равно 100, и их сумму:

• Если a = 100, b = 100, то НОК(100, 100) = 100. Сумма 100 + 100 = 200. Эти числа имеют общий делитель 100, 50, 25, 20, 10, 5, 4, 2.
• Если a = 100, b = 50, то НОК(100, 50) = 100. Сумма 100 + 50 = 150. Общие делители: 50, 25, 10, 5.
• Если a = 100, b = 25, то НОК(100, 25) = 100. Сумма 100 + 25 = 125. Общие делители: 25, 5.
• Если a = 100, b = 20, то НОК(100, 20) = 100. Сумма 100 + 20 = 120. Общие делители: 20, 10, 5, 4.
• Если a = 100, b = 10, то НОК(100, 10) = 100. Сумма 100 + 10 = 110. Общие делители: 10, 5, 2.
• Если a = 50, b = 20, то НОК(50, 20) = 100. Сумма 50 + 20 = 70. Общие делители: 10, 5, 2.
• Если a = 50, b = 25, то НОК(50, 25) = 50. Это не подходит, НОК должен быть 100.
• Если a = 25, b = 20, то НОК(25, 20) = 100. Сумма 25 + 20 = 45. Общие делители: 5.
• Если a = 25, b = 4, то НОК(25, 4) = 100. Сумма 25 + 4 = 29. Общие делители: 1. Эти числа взаимно простые, что противоречит условию.
• Если a = 50, b = 100, то НОК(50, 100) = 100. Сумма 50 + 100 = 150.
• Если a = 20, b = 100, то НОК(20, 100) = 100. Сумма 20 + 100 = 120.
• Если a = 20, b = 50, то НОК(20, 50) = 100. Сумма 20 + 50 = 70.
• Если a = 25, b = 50, то НОК(25, 50) = 50. Не подходит.
• Если a = 10, b = 100, то НОК(10, 100) = 100. Сумма 10 + 100 = 110.
• Если a = 10, b = 50, то НОК(10, 50) = 50. Не подходит.
• Если a = 10, b = 20, то НОК(10, 20) = 20. Не подходит.

Рассмотрим пару a = 25, b = 20. Их НОК равно 100. Они имеют общий делитель 5. Сумма a + b = 25 + 20 = 45.

Рассмотрим пару a = 50, b = 20. Их НОК равно 100. Они имеют общий делитель 10. Сумма a + b = 50 + 20 = 70.

Наименьшая сумма получается при a = 25 и b = 20 (или наоборот).

Важно: числа a и b должны быть делителями 100, и их НОК должен быть равен 100. Также они не должны быть взаимно простыми, то есть у них должен быть общий делитель больше 1.

Пара (25, 20) удовлетворяет всем условиям: НОК(25, 20) = 100, общий делитель 5 > 1. Сумма 25 + 20 = 45.

Пара (100, 100) тоже подходит. НОК(100,100)=100, общий делитель 100 > 1. Сумма 100+100 = 200.

Пара (50, 20) тоже подходит. НОК(50,20)=100, общий делитель 10 > 1. Сумма 50+20 = 70.

Среди всех пар, удовлетворяющих условию, наименьшая сумма — 45.

Ответ: 45