8. Дано: ABCD — параллелограмм, M — середина AB, DN ⟂ BC, M ∉ (ABC), a ∥ DN. Докажите, что a ∩ (AMB).

В плоскости параллелограмма ABCD прямая BC параллельна AD. Поскольку DN ⟂ BC, имеем также DN ⟂ AD.

Прямая a параллельна DN, следовательно, a ⟂ AD. По рисунку a не лежит в плоскости (ABC) и не пересекает прямую AD.

Плоскость (AMB) содержит прямую AM, причём A и M принадлежат прямой AB. Так как M — середина AB и M ∉ (ABC), точки A, B, M неколлинеарны; следовательно, (AMB) — плоскость, отличная от (ABC), и пересекает (ABC) по прямой AB. Из данных условия не следует, что a параллельна AB или пересекает AB, поэтому пересечение a с (AMB) нельзя доказать.

Более того, в стандартном прочтении рисунка прямая a параллельна DN, а значит, параллельна плоскости (ABC), поскольку DN лежит в (ABC). Если a не лежит в (ABC), то она не пересекает (ABC). Тогда она также не пересекает (AMB): возможное пересечение двух плоскостей происходит на AB, а a, параллельная (ABC), не пересекает AB.

Ответ: условие, вероятно, содержит ошибку: из указанных данных следует, что a ∩ (AMB) = ∅, а не что пересечение непусто.