8) Дано: $BB_1 \parallel CC_1$, $BC \cap \alpha = A$, $B_1 \in \alpha$, $C_1 \in \alpha$, $B$ — середина $AC$. Доказать: $B_1 \in AC_1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 8) Дано: $BB_1 \parallel CC_1$, $BC \cap \alpha = A$, $B_1 \in \alpha$, $C_1 \in \alpha$, $B$ — середина $AC$.…$ Фото задания

8) Дано: $BB_1 \parallel CC_1$, $BC \cap \alpha = A$, $B_1 \in \alpha$, $C_1 \in \alpha$, $B$ — середина $AC$. Доказать: $B_1 \in AC_1$.

Accepted Answer

Проведём через точки $A$, $B$, $C$ прямую. Она пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$, а прямая $BB_1$ — в точке $B_1$. По условию $B_1$ и $C_1$ принадлежат плоскости $\alpha$, причём $BB_1 \parallel CC_1$.

Рассмотрим треугольники $ABB_1$ и $ACC_1$. Точки $A,B,C$ лежат на одной прямой, точки $A,B_1,C_1$ — в плоскости $\alpha$, а стороны $BB_1$ и $CC_1$ параллельны. Поэтому эти треугольники подобны, и

\[\frac{AB}{AC}=\frac{AB_1}{AC_1}.\]

Так как $B$ — середина $AC$, то $AB=BC$, следовательно, $AB/AC=1/2$. Значит, $AB_1/AC_1=1/2$: точка $B_1$ является серединой отрезка $AC_1$.

Ответ: $B_1\in AC_1$.

8) Дано: \(BB_1 \parallel CC_1\), \(BC \cap \alpha = A\), \(B_1 \in \alpha\), \(C_1 \in \alpha\), \(B\) — середина \(AC\). Доказать: \(B_1 \in AC_1\).

Ответ: