8. Делится ли число $$48^{23}$$ на $$2^{90}$$ нацело?

Решение:

Чтобы определить, делится ли $$48^{23}$$ на $$2^{90}$$ нацело, нужно сравнить показатели степени после приведения оснований к одному виду.

Разложим основание 48 на простые множители:

\[48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3\]

Теперь возведём это разложение в 23-ю степень:

\[48^{23} = (2^4 \cdot 3)^{23} = (2^4)^{23} \cdot 3^{23} = 2^{4 \cdot 23} \cdot 3^{23} = 2^{92} \cdot 3^{23}\]

Мы хотим узнать, делится ли $$2^{92} \cdot 3^{23}$$ на $$2^{90}$$.

Разделим $$2^{92} \cdot 3^{23}$$ на $$2^{90}$$:

\[\frac{2^{92} \cdot 3^{23}}{2^{90}} = 2^{92-90} \cdot 3^{23} = 2^2 \cdot 3^{23} = 4 \cdot 3^{23}\]

Поскольку результат является целым числом ($$4 \cdot 3^{23}$$), то число $$48^{23}$$ делится на $$2^{90}$$ нацело.

Ответ: Да, делится.