8. Диагональ AC ромба ABCD равна 48, а tg ∠BCA = 7/24. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через O. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому \(OC=\frac{AC}{2}=24\), а треугольник BOC прямоугольный.

По определению тангенса \(\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{BO}{OC}=\frac{7}{24}\), откуда \(BO=7\). Следовательно, \(BD=2BO=14\).

Сторона ромба равна \(BC=\sqrt{OC^2+BO^2}=\sqrt{24^2+7^2}=25\). Площадь ромба: \(S=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{48\cdot14}{2}=336\). Его полупериметр равен \(p=2\cdot25=50\).

Для ромба с вписанной окружностью \(S=rp\), поэтому \(r=\frac{S}{p}=\frac{336}{50}=\frac{168}{25}=6.72\).

Ответ: \(\frac{168}{25}\) (или 6.72).