8. Диагональ прямоугольника образует угол 74° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Задание 8. Прямоугольник

Дано:

• Диагональ прямоугольника образует угол \( 74^ \) с одной из его сторон.

Найти: острый угол между диагоналями прямоугольника.

Решение:

1. В прямоугольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами прямоугольника и одной из его диагоналей.
3. Углы этого треугольника равны \( 90^ \), \( 74^ \) и \( 90^ - 74^ = 16^ \).
4. Значит, диагональ образует углы \( 74^ \) и \( 16^ \) со сторонами прямоугольника.
5. Точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ пополам.
6. Рассмотрим треугольник, образованный половиной одной диагонали, половиной другой диагонали и стороной прямоугольника.
7. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей. Рассмотрим треугольник \( AOB \), где \( AB \) — сторона прямоугольника. Угол \( OAB = 16^ \) (если \( AB \) — меньшая сторона) или \( OAB = 74^ \) (если \( AB \) — большая сторона).
8. Пусть \( AB \) — сторона, с которой диагональ образует угол \( 74^ \). Тогда угол при вершине \( A \) прямоугольника равен \( 90^ \), и угол между стороной \( AD \) и диагональю \( AC \) равен \( 16^ \) (так как \( 74^ + 16^ = 90^ \)).
9. Рассмотрим треугольник \( ABC \). Угол \( B = 90^ \). Угол \( BAC = 74^ \). Угол \( BCA = 16^ \).
10. Диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( O \). \( AO = BO = CO = DO \) (половины равных диагоналей).
11. Рассмотрим треугольник \( AOB \). \( AO = BO \), значит, он равнобедренный. Угол \( OAB = 74^ \).
12. Угол \( OBA = ungle \).
13. Угол \( AOB \) — угол между диагоналями.
14. Сумма углов в треугольнике \( AOB \): \( ungle + ungle + 74^ = 180^ \).
15. \( 2 ungle = 180^ - 74^ = 106^ \).
16. \( ungle = 53^ \).
17. Таким образом, угол \( AOB = 53^ \).
18. Угол \( BOC \) смежный с \( AOB \), поэтому \( BOC = 180^ - 53^ = 127^ \).
19. Острый угол между диагоналями равен \( 53^ \).
20. Альтернативный подход:
21. Углы, которые образует диагональ со сторонами, равны \( 74^ \) и \( 16^ \).
22. Рассмотрим треугольник, образованный двумя диагоналями и стороной прямоугольника.
23. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей. Рассмотрим треугольник \( AOD \), где \( AD \) — сторона прямоугольника. Угол \( OAD = 16^ \). \( AO = DO \), значит, треугольник \( AOD \) равнобедренный.
24. Угол \( ODA = 16^ \).
25. Угол \( AOD = 180^ - (16^ + 16^) = 180^ - 32^ = 148^ \).
26. Этот угол тупой. Острый угол между диагоналями будет смежным с ним: \( 180^ - 148^ = 32^ \).
27. Проверка:
28. Если одна диагональ с одной стороной образует угол \( 74^ \), то с другой стороной — \( 16^ \).
29. Рассмотрим треугольник, образованный двумя диагоналями и меньшей стороной. Углы при основании равны \( 16^ \). Угол между диагоналями \( 180^ - 2 × 16^ = 180^ - 32^ = 148^ \). Этот угол тупой.
30. Смежный с ним угол равен \( 180^ - 148^ = 32^ \). Это острый угол.
31. Если одна диагональ с одной стороной образует угол \( 16^ \), то с другой стороной — \( 74^ \).
32. Рассмотрим треугольник, образованный двумя диагоналями и большей стороной. Углы при основании равны \( 74^ \). Угол между диагоналями \( 180^ - 2 × 74^ = 180^ - 148^ = 32^ \). Этот угол острый.
33. Вывод: Острый угол между диагоналями равен \( 180^ - 2 × 74^ = 32^ \) или \( 180^ - 2 × 16^ = 148^ \). Острый угол - \( 32^ \).

Ответ: 32.