8. Докажите, что: а) (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D); б) (A × B) ∪ (C × D) = (A ∪ C) × (B ∪ D).

а) Рассмотрим произвольную упорядоченную пару (x; y).

1. (x; y) ∈ (A ∩ B) × (C ∩ D) тогда и только тогда, когда x ∈ A ∩ B и y ∈ C ∩ D.
2. Это равносильно условиям x ∈ A, x ∈ B, y ∈ C, y ∈ D.
3. Значит, (x; y) ∈ A × C и (x; y) ∈ B × D, то есть (x; y) ∈ (A × C) ∩ (B × D).
4. Получена равносильность принадлежности произвольной пары обеим частям равенства, следовательно, множества равны.

б) Это равенство в общем случае неверно, поэтому доказать его нельзя. Например, возьмём A = {1}, B = {1}, C = {2}, D = {2}. Тогда (A × B) ∪ (C × D) = {(1; 1), (2; 2)}, а (A ∪ C) × (B ∪ D) = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2)}. Правая часть содержит дополнительные пары (1; 2) и (2; 1).