8. Докажите, что биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны. Пусть AC и BM — биссектрисы соседних углов A и B параллелограмма ABHP, пересекающиеся в точке E (выполните построение). Заполните пропуски в доказательстве: ∠BAE = ½∠A, ∠ABE = ½∠__; В треугольнике ABE ∠BAE + ∠ABE + ∠BEA = __; ∠BAE + ∠ABE = ½∠__ + ½∠B = ½(∠A + ∠__) = __; так как углы A и __ являются __ углами при параллельных прямых AP и __ и секущей __. Поэтому ∠BEA = 180° − __ = __, а значит, AC __ BM. Другой способ: треугольник ABC — __; BM является и __, то есть AC __ BM.

Так как AC и BM — биссектрисы углов A и B, то ∠BAE = ½∠A, а ∠ABE = ½∠B (по определению биссектрисы угла).

В треугольнике ABE сумма углов равна 180°: ∠BAE + ∠ABE + ∠BEA = 180°.

Соседние углы параллелограмма supplementary, то есть ∠A + ∠B = 180°. Поэтому ∠BAE + ∠ABE = ½∠A + ½∠B = ½(∠A + ∠B) = 90°.

Следовательно, ∠BEA = 180° − 90° = 90°. Так как E лежит на AC и BM, угол между AC и BM прямой, значит, AC ⟂ BM.

Заполненные пропуски по порядку: B; 180°; A; B; 90°; B; внутренними односторонними; BH; AB; 90°; 90°; ⟂.

Другой способ: AB = BC, поскольку ABC — равнобедренный треугольник (AB = BC как стороны параллелограмма, то есть BC = AP — это не следует; здесь, согласно рисунку, вершина C лежит на BH и AC биссектриса угла A, поэтому ABC равнобедренность не дана). В представленном втором способе условие/пропуски обрезаны или недостаточны для корректного вывода: по видимой части нельзя утверждать, что ABC — равнобедренный треугольник. Основное доказательство выше полностью доказывает требуемое.