8. Докажите, что биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны. Решение: Пусть AC и BM — биссектрисы соседних углов A и B параллелограмма ABHP и пересекаются в точке E. Тогда ∠BAE = 1/2∠A, ∠ABE = 1/2∠____ (по определению __________ угла). В треугольнике ABE ∠BAE + ∠ABE + ∠BEA = ____, но ∠BAE + ∠ABE = 1/2∠____ + 1/2∠B = 1/2(∠A + ∠____) = ____, так как углы A и ____ являются __________ углами при параллельных прямых AP и ____ и секущей ____. Поэтому ∠BEA = 180° − ____ = ____, а значит, AC ____ BM.

Пусть AC и BM — биссектрисы соседних углов A и B параллелограмма ABHP, пересекающиеся в точке E. Тогда

∠BAE = \(\frac{1}{2}\)∠A, ∠ABE = \(\frac{1}{2}\)∠B по определению биссектрисы угла.

В треугольнике ABE сумма углов равна 180°:

∠BAE + ∠ABE + ∠BEA = 180°.

Так как

∠BAE + ∠ABE = \(\frac{1}{2}\)∠A + \(\frac{1}{2}\)∠B = \(\frac{1}{2}\)(∠A + ∠B) = 90°,

поскольку углы A и B являются односторонними внутренними углами при параллельных прямых AP и BH и секущей AB.

Следовательно, ∠BEA = 180° − 90° = 90°. Так как A, E, C лежат на одной прямой, а B, E, M — на другой, получаем AC ⊥ BM.

Ответ: биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны.