8. Докажите, что четырёхугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника; б) равнобедренной трапеции.

Пусть E, F, G, H — середины сторон четырёхугольника ABCD, взятые последовательно.

По теореме о средней линии треугольника:

• в треугольнике ABC: EF ∥ AC и EF = AC/2;
• в треугольнике BCD: FG ∥ BD и FG = BD/2;
• аналогично, GH = AC/2 и HE = BD/2.

Значит, если диагонали исходного четырёхугольника равны, то EF = FG = GH = HE. Четырёхугольник с четырьмя равными сторонами — ромб.

а) У прямоугольника диагонали равны. Поэтому EF = FG = GH = HE, и четырёхугольник, вершинами которого являются середины его сторон, — ромб.

б) У равнобедренной трапеции диагонали равны. Следовательно, для четырёхугольника из середин сторон также EF = FG = GH = HE, то есть он является ромбом.