8) Докажите, что основание равнобедренного треугольника параллельно биссектрисе одного из внешних углов.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Основание — AC.

Проведем биссектрису внешнего угла при вершине B. Обозначим точку, в которую она пересекает продолжение стороны AB, как D.

1. Равенство углов при основании:

Так как \( \Delta ABC \) равнобедренный с AB = BC, то углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).

2. Внешний угол треугольника:

Внешний угол при вершине B равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним:

\( \angle CBD = \angle BAC + \angle BCA = 2 \angle BAC \) (так как \( \angle BAC = \angle BCA \)).

3. Биссектриса внешнего угла:

Пусть BL — биссектриса внешнего угла \( \angle CBD \). Тогда \( \angle CBL = \angle LBD = \frac{1}{2} \angle CBD = \frac{1}{2} (2 \angle BAC) = \angle BAC \).

4. Параллельность:

Мы получили, что \( \angle BAC \) (угол при основании треугольника) равен \( \angle CBL \) (половина внешнего угла при вершине B, образованного биссектрисой BL).

Углы \( \angle BAC \) и \( \angle CBL \) являются накрест лежащими при прямых AC и BL и секущей BC.

Поскольку накрест лежащие углы равны (\( \angle BAC = \angle CBL \)), то прямые AC и BL параллельны.

Следовательно, основание треугольника AC параллельно биссектрисе внешнего угла при вершине B.