8. Докажите, что при данном условии значение выражения является положительным числом: а) \(\frac{a-2}{a^2+2a+4}+\frac{6a}{a^3-8}\) при \(a>2\); б) \(\frac{a-1}{a^2+a+1}+\frac{3a}{a^3-1}\) при \(a>1\).

а)

Разложим знаменатель по формуле разности кубов: \(a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)\).

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[\frac{a-2}{a^2+2a+4}+\frac{6a}{a^3-8}=\frac{(a-2)+6a}{a^3-8}=\frac{7a-2}{a^3-8}.\]

При \(a>2\) числитель \(7a-2>0\), а знаменатель \(a^3-8>0\). Следовательно, дробь положительна.

б)

Разложим знаменатель по формуле разности кубов: \(a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)\).

\[\frac{a-1}{a^2+a+1}+\frac{3a}{a^3-1}=\frac{(a-1)+3a}{a^3-1}=\frac{4a-1}{a^3-1}.\]

При \(a>1\) числитель \(4a-1>0\), а знаменатель \(a^3-1>0\). Следовательно, дробь положительна.

Ответ: а) \(\frac{7a-2}{a^3-8}>0\); б) \(\frac{4a-1}{a^3-1}>0\).