8. Докажите, что при любом значении p уравнение x² + px + p-4 = 0 имеет два корня.

Решение:

Для того чтобы квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \) имело два корня, его дискриминант \( D = b^2 - 4ac \) должен быть строго больше нуля (\( D > 0 \)).

В данном уравнении \( x^2 + px + p-4 = 0 \) имеем:

• \( a = 1 \)
• \( b = p \)
• \( c = p - 4 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p - 4) \]

\[ D = p^2 - 4p + 16 \]

Теперь нам нужно доказать, что \( D = p^2 - 4p + 16 > 0 \) для любого значения \( p \).

Рассмотрим получившееся квадратное выражение для дискриминанта как функцию от \( p \): \( f(p) = p^2 - 4p + 16 \). Это парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при \( p^2 \) равен 1, что больше нуля).

Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена (для \( p \)) для определения его корней:

\[ D_p = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 \]

Так как дискриминант \( D_p \) отрицателен (\( -48 < 0 \)), а коэффициент при \( p^2 \) положителен (1 > 0), то значение \( p^2 - 4p + 16 \) всегда положительно для любого значения \( p \).

Следовательно, \( D = p^2 - 4p + 16 > 0 \) для любого \( p \).

Это означает, что исходное уравнение \( x^2 + px + p-4 = 0 \) всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: Дискриминант уравнения \( D = p^2 - 4p + 16 \) всегда положителен, так как это квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом и отрицательным дискриминантом, поэтому уравнение имеет два корня при любом значении \( p \).