8. Докажите с помощью графиков, что система уравнений не имеет решений: $$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ x + 2y = -1 \end{cases}$$

Решение:

Чтобы доказать, что система уравнений не имеет решений графически, нужно построить графики обоих уравнений и показать, что они не пересекаются.

1. Первое уравнение: \( x^2 - y = 0 \)

   Преобразуем его к виду \( y = x^2 \). Это уравнение параболы с вершиной в начале координат (0,0), ветвями, направленными вверх.

2. Второе уравнение: \( x + 2y = -1 \)

   Преобразуем его к виду \( 2y = -x - 1 \), то есть \( y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \). Это уравнение прямой. Найдем две точки для построения:

   • Если \( x = -1 \), то \( y = -\frac{1}{2}(-1) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \). Точка (-1, 0).
   • Если \( x = 1 \), то \( y = -\frac{1}{2}(1) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1 \). Точка (1, -1).
3. Построение графиков:
4. Вывод: Как видно из графика, парабола \( y = x^2 \) и прямая \( y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \) не пересекаются. Это означает, что система уравнений не имеет решений.

Ответ: Графики уравнений не пересекаются.