8. \(f(x)=5\sqrt[5]{x-1}+2x^3-3x\) funksiyasi uchun \(f'(2)\) qiymatini toping.

Перевод задания: Найдите значение \(f'(2)\) для функции \(f(x)=5\sqrt[5]{x-1}+2x^3-3x\).

Hosila olish qoidalarini qo‘llaymiz:

1. \(5\sqrt[5]{x-1}=5(x-1)^{1/5}\), shuning uchun uning hosilasi \(5\cdot\frac15(x-1)^{-4/5}=(x-1)^{-4/5}\).
2. \((2x^3)'=6x^2\), \((-3x)'=-3\). Demak, \(f'(x)=(x-1)^{-4/5}+6x^2-3\).
3. \(x=2\) ni qo‘yamiz: \(f'(2)=1^{-4/5}+6\cdot 2^2-3=1+24-3=22\).

Ответ: \(f'(2)=22\).

Перевод решения: Применим правила дифференцирования:

1. \(5\sqrt[5]{x-1}=5(x-1)^{1/5}\), поэтому производная равна \(5\cdot\frac15(x-1)^{-4/5}=(x-1)^{-4/5}\).
2. \((2x^3)'=6x^2\), \((-3x)'=-3\). Следовательно, \(f'(x)=(x-1)^{-4/5}+6x^2-3\).
3. Подставим \(x=2\): \(f'(2)=1^{-4/5}+6\cdot 2^2-3=1+24-3=22\).

Ответ: \(f'(2)=22\).