8) \(\frac{\sin 2x}{\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}=\sqrt3\), \(x\in\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\).

ОДЗ: \(\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\ne0\), то есть \(\sin x\ne0\).

Преобразуем знаменатель и числитель:

\[\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x,\qquad \sin2x=2\sin x\cos x.\]

Тогда

\[\frac{2\sin x\cos x}{-\sin x}=\sqrt3.\]

С учётом ОДЗ сокращаем \(\sin x\):

\[-2\cos x=\sqrt3,\qquad \cos x=-\frac{\sqrt3}{2}.\]

Общее решение:

\[x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k.\]

На отрезке \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\) находится только значение \(x=-\frac{7\pi}{6}\).

Ответ: \(x=-\frac{7\pi}{6}\).