8. Функция задана формулой f(x) = 3x-x²-x³/3. Решите неравенство f'(x)>0.

Решение:

1. Найдем производную функции \( f(x) = 3x - x^2 - \frac{x^3}{3} \).
2. Производная \( f'(x) \) находится по правилам дифференцирования: \( f'(x) = 3 - 2x - \frac{3x^2}{3} = 3 - 2x - x^2 \).
3. Теперь решим неравенство \( f'(x) > 0 \), то есть \( 3 - 2x - x^2 > 0 \).
4. Умножим обе части неравенства на -1 и сменим знак неравенства: \( x^2 + 2x - 3 < 0 \).
5. Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). Используем теорему Виета или дискриминант. Сумма корней равна -2, произведение равно -3. Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -3 \).
6. Парабола \( y = x^2 + 2x - 3 \) ветвями вверх. Неравенство \( x^2 + 2x - 3 < 0 \) выполняется между корнями.
7. Таким образом, \( -3 < x < 1 \).

Ответ: (-3; 1).