8. Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС – дугу в 43°. Найдите угол BAC.

Решение:

Угол \( \angle BAC \) является вписанным углом, который опирается на дугу \( BC \). Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

Дуга, которую стягивает хорда \( AB \), равна \( 115^{\circ} \).

Дуга, которую стягивает хорда \( AC \), равна \( 43^{\circ} \).

Таким образом, величина дуги \( BC \) равна сумме дуг \( AB \) и \( AC \), если точка \( A \) находится между дугами \( BC \), или разности, если \( A \) не между ними. В данном случае, по условию, угол \( BAC \) опирается на дугу \( BC \), которая формируется как сумма двух дуг, если порядок точек на окружности А, В, С, или как разность, если порядок другой. Предположим, что \( A \) не лежит на дуге \( BC \).

Если \( A \) находится между \( B \) и \( C \) по ходу движения по окружности, то дуга \( BC \) = дуга \( AB \) + дуга \( AC \) = \( 115^{\circ} + 43^{\circ} = 158^{\circ} \).

Тогда \( \angle BAC = \frac{1}{2} \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \cdot 158^{\circ} = 79^{\circ} \).

Однако, более вероятно, что \( A \) является вершиной угла, а \( AB \) и \( AC \) — это хорды, стягивающие соответствующие дуги. В этом случае угол \( BAC \) опирается на дугу \( BC \), которая может быть найдена через другие углы или дуги. Часто в таких задачах рассматривается центральный угол, равный центральной дуге. Угол \( BAC \) — вписанный, опирающийся на дугу \( BC \). Дуги, стягиваемые хордами \( AB \) и \( AC \), это дуги \( AB \) и \( AC \) соответственно. Если \( O \) — центр окружности, то \( \angle AOB = 115^{\circ} \) и \( \angle AOC = 43^{\circ} \).

Угол \( BAC \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( BC \). Угол \( BAC = \frac{1}{2} \text{дуга } BC \). Для нахождения дуги \( BC \) необходимо рассмотреть положение точек \( A, B, C \) на окружности.

Если точки расположены в порядке \( A, C, B \) по окружности, то дуга \( AB \) = дуга \( AC \) + дуга \( CB \). Тогда дуга \( CB \) = дуга \( AB \) - дуга \( AC \) = \( 115^{\circ} - 43^{\circ} = 72^{\circ} \). В этом случае \( \angle BAC = \frac{1}{2} \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \times 72^{\circ} = 36^{\circ} \).

Если точки расположены в порядке \( A, B, C \) по окружности, то дуга \( AC \) = дуга \( AB \) + дуга \( BC \). Тогда дуга \( BC \) = дуга \( AC \) - дуга \( AB \) = \( 43^{\circ} - 115^{\circ} \), что невозможно, так как дуга не может быть отрицательной.

Если точки расположены в порядке \( B, A, C \) по окружности, то дуга \( BC \) = дуга \( BA \) + дуга \( AC \). Дуга \( BA \) = дуга \( AB \) = \( 115^{\circ} \). Дуга \( AC \) = \( 43^{\circ} \). Тогда дуга \( BC \) = \( 115^{\circ} + 43^{\circ} = 158^{\circ} \). Угол \( BAC \) опирается на дугу \( BC \), но сам угол \( BAC \) является центральным, если \( A \) — центр, но \( A \) — точка на окружности. Следовательно, \( \angle BAC \) — вписанный. В этом случае, если \( A \) находится между \( B \) и \( C \), то \( \angle BAC = \frac{1}{2}(\text{дуга } AB + \text{дуга } AC) \) только если \( A \) — вершина угла, опирающегося на дугу \( BC \). Но \( AB \) и \( AC \) — хорды, стягивающие дуги. Угол \( BAC \) — это вписанный угол. Он опирается на дугу \( BC \). Дуга \( AB = 115^{\circ} \) и дуга \( AC = 43^{\circ} \). Это означает, что центральные углы \( \angle AOB = 115^{\circ} \) и \( \angle AOC = 43^{\circ} \), где \( O \) — центр окружности. Угол \( BAC \) — это угол между хордами \( AB \) и \( AC \). Он равен половине дуги \( BC \).

Чтобы найти дугу \( BC \), нужно определить положение точек. Есть два случая:

1. Точка \( A \) находится на дуге, отсекаемой хордой \( BC \). Тогда дуга \( BC \) = дуга \( AB \) - дуга \( AC \) = \( 115^{\circ} - 43^{\circ} = 72^{\circ} \). Тогда \( \angle BAC = \frac{1}{2} \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \times 72^{\circ} = 36^{\circ} \).
2. Точка \( A \) не находится на дуге, отсекаемой хордой \( BC \). Тогда дуга \( BC \) = дуга \( AB \) + дуга \( AC \) = \( 115^{\circ} + 43^{\circ} = 158^{\circ} \). В этом случае \( \angle BAC \) является углом, опирающимся на большую дугу \( BC \). Этот угол будет равен \( \frac{1}{2} \) меньшей дуги \( BC \) или \( \frac{1}{2} \) большей дуги \( BC \). Угол \( BAC \) опирается на дугу, которая является разницей или суммой данных дуг.

В стандартных задачах такого типа, угол \( BAC \) опирается на дугу \( BC \). Если хорда \( AB \) стягивает дугу \( 115^{\circ} \) и хорда \( AC \) стягивает дугу \( 43^{\circ} \), то дуга \( BC \), на которую опирается угол \( BAC \), равна разности этих дуг, если \( AC \) находится внутри дуги \( AB \), или сумме, если \( A \) лежит между \( B \) и \( C \) на окружности. Обычно, когда даны хорды \( AB \) и \( AC \) и просят найти \( \angle BAC \), то \( \angle BAC \) опирается на дугу \( BC \), которая равна \( |\text{дуга } AB - \text{дуга } AC| \) или \( 360^{\circ} - (\text{дуга } AB + \text{дуга } AC) \) в зависимости от взаимного расположения точек.

Примем, что \( A, C, B \) идут по порядку на окружности. Тогда дуга \( AB \) = дуга \( AC \) + дуга \( CB \). Следовательно, дуга \( CB \) = дуга \( AB \) - дуга \( AC \) = \( 115^{\circ} - 43^{\circ} = 72^{\circ} \).

Вписанный угол \( BAC \) равен половине дуги, на которую он опирается, то есть половине дуги \( BC \).

\( \angle BAC = \frac{1}{2} \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \times 72^{\circ} = 36^{\circ} \).

Ответ: 36°.