8. Исполнитель Чертежник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертежник может выполнять команду сместиться на (a, b), где а, b – целые числа. Эта команда перемещает Чертежника из точки с координатами (х, у) в точку с координатами (х + a, y + b). Например, если Чертежник находится в точке с координатами (4, 2), то команда сместиться на (2, -3) переместит Чертежника в точку (6, -1). Цикл ПОВТОРИ число РАЗ последовательность команд КОНЕЦ ПОВТОРИ означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным). Чертежнику был дан для исполнения следующий алгоритм (буквами п, а, b обозначены неизвестные числа, n > 1): НАЧАЛО сместиться на (30, -10) ПОВТОРИ n РАЗ сместиться на (a, b) сместиться на (-11, -12) КОНЕЦ ПОВТОРИ сместиться на (-3, 100) КОНЕЦ Укажите наименьшее возможное значение числа n, для которого найдутся такие значения чисел а и b, что после выполнения программы Чертежник возвратится в исходную точку. Ответ:

Давай разберем движение Чертежника по шагам:

1. Начало: Чертежник находится в некоторой исходной точке. Обозначим ее как (x₀, y₀).
2. Первый шаг: сместиться на (30, -10). Новая позиция: (x₀ + 30, y₀ - 10).
3. Цикл ПОВТОРИ n РАЗ: Эта часть будет выполняться n раз.
4. Внутри цикла (1 раз):
   • сместиться на (a, b). Координаты становятся: (x₀ + 30 + a, y₀ - 10 + b).
   • сместиться на (-11, -12). Координаты становятся: (x₀ + 30 + a - 11, y₀ - 10 + b - 12) = (x₀ + 19 + a, y₀ - 22 + b).
5. Конец цикла: После n повторений, суммарное смещение внутри цикла будет n * (a - 11, b - 12).
6. Общая позиция после цикла: (x₀ + 30 + n * (a - 11), y₀ - 10 + n * (b - 12)).
7. Последний шаг: сместиться на (-3, 100).
8. Финальная позиция: (x₀ + 30 + n * (a - 11) - 3, y₀ - 10 + n * (b - 12) + 100).

Чтобы Чертежник вернулся в исходную точку (x₀, y₀), финальная позиция должна быть равна (x₀, y₀). Это означает, что суммарное смещение по каждой оси должно быть равно нулю.

Суммарное смещение по оси X:

30 + n * (a - 11) - 3 = 0

27 + n * (a - 11) = 0

n * (a - 11) = -27

Суммарное смещение по оси Y:

-10 + n * (b - 12) + 100 = 0

90 + n * (b - 12) = 0

n * (b - 12) = -90

Нам нужно найти наименьшее возможное целое значение n (n > 1), для которого найдутся целые числа a и b, удовлетворяющие этим уравнениям.

Из уравнений видно, что n должно быть делителем чисел -27 и -90. Следовательно, n должно быть общим делителем 27 и 90.

Найдем делители 27: 1, 3, 9, 27.

Найдем делители 90: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

Общие делители 27 и 90: 1, 3, 9.

По условию задачи n > 1. Значит, возможные значения n: 3, 9.

Нам нужно найти наименьшее возможное значение n.

Проверим n = 3:

• 3 * (a - 11) = -27 => a - 11 = -9 => a = 2.
• 3 * (b - 12) = -90 => b - 12 = -30 => b = -18.

Мы нашли целые значения a = 2 и b = -18, которые удовлетворяют уравнениям при n = 3. Так как n = 3 является наименьшим общим делителем больше 1, это и есть наш ответ.

Ответ: 3