Ответ:

  1. Кот переплыл реку и выбрался на берег.
  2. Чик перестал задираться с соседями и крепко подружился с ласточками.
  3. Без рук, без топорёнка построена избёнка.
  4. Человек сидел у окошка и смотрел на двор.
  5. Дождик вымочит, а солнце высушит.
  6. Душный ветер пыль приносит и глаза песком заносит.

В предложениях 1, 2, 4 и 6 однородные сказуемые с общим подлежащим соединены одиночным союзом «и», поэтому запятая не нужна. В предложении 3 запятая разделяет однородные обстоятельства, а в предложении 5 — части сложного предложения перед союзом «а».