8. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 60° и МА = 9.

Решение:

• 1. Анализ условия:
• MA и MB - касательные к окружности с центром O.
• ∠AOB = 60°.
• MA = 9.
• Нужно найти расстояние AB.
• 2. Свойства касательных и радиусов:
• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠MAO = 90° и ∠MBO = 90°.
• Треугольники MAO и MBO равны (по гипотенузе и катету: MO - общая гипотенуза, MA = MB - как касательные, проведенные из одной точки).
• Из равенства треугольников следует, что ∠AOM = ∠BOM = ∠AOB / 2 = 60° / 2 = 30°.
• Также, MO является биссектрисой ∠AMB.
• MA = MB = 9.
• 3. Нахождение радиуса окружности:
• Рассмотрим прямоугольный треугольник MAO.
• ∠MAO = 90°, ∠AOM = 30°, MA = 9.
• ∠AMO = 180° - 90° - 30° = 60°.
• Используем тангенс: tan(∠AOM) = MA / AO.
• tan(30°) = 9 / AO.
• 1/–3 = 9 / AO.
• AO = 9–3.
• Радиус окружности R = 9–3.
• 4. Нахождение расстояния AB:
• Рассмотрим треугольник AOB.
• OA = OB = R = 9–3.
• ∠AOB = 60°.
• Так как OA = OB, треугольник AOB - равнобедренный.
• Углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA = (180° - 60°) / 2 = 120° / 2 = 60°.
• Следовательно, треугольник AOB - равносторонний.
• Все стороны равны: AB = OA = OB.
• AB = 9–3.

Ответ: 9–3.