8. Как известно, девятнадцатилетний Михаил Ломоносов отправился из Холмогор (Архангельская об- ) в Москву для поступления в Славяно-греко-латинскую академию. Первые три дня пути он шёл, догоняя обоз, который отправился из Холмогор. Сколько километров прошёл М. Ломоносов, догоняя обоз, если в первый день он преодолел \( \frac{10}{29} \) всего пути, во второй день \( \frac{4}{5} \) пути, пройденного в первый день, а в третий день — 66 км?

Решение:

Обозначим весь путь как \( x \) км.

1. Первый день:

Ломоносов прошёл \( \frac{10}{29} \) всего пути. Расстояние в первый день: \( \frac{10}{29}x \) км.

2. Второй день:

Он прошёл \( \frac{4}{5} \) пути, пройденного в первый день. Расстояние во второй день: \( \frac{4}{5} \cdot \frac{10}{29}x = \frac{40}{145}x = \frac{8}{29}x \) км.

3. Третий день:

Расстояние в третий день составило 66 км.

4. Составим уравнение:

Сумма расстояний за три дня равна всему пути:

\( \frac{10}{29}x + \frac{8}{29}x + 66 = x \)

5. Решим уравнение:

Сложим дроби:

\( \frac{18}{29}x + 66 = x \)

Перенесём \( \frac{18}{29}x \) в правую часть:

\( 66 = x - \frac{18}{29}x \)

\( 66 = \frac{29}{29}x - \frac{18}{29}x \)

\( 66 = \frac{11}{29}x \)

Найдем \( x \):

\( x = 66 : \frac{11}{29} = 66 \cdot \frac{29}{11} \)

\( x = 6 \cdot 29 = 174 \) км.

6. Проверка:

Путь за первый день: \( \frac{10}{29} \cdot 174 = 10 \cdot 6 = 60 \) км.

Путь за второй день: \( \frac{8}{29} \cdot 174 = 8 \cdot 6 = 48 \) км.

Путь за третий день: 66 км.

Общий путь: \( 60 + 48 + 66 = 174 \) км.

Ответ: М. Ломоносов прошёл 174 км.