8 класс, C—3, B—1. 1. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AD и BC в точках E и F соответственно. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 28 см, AE = 5 см, BF = 3 см. 2. Найдите меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 10 см и 6 см, а один из углов равен 45°.

1. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам, поэтому их точка пересечения — центр центральной симметрии фигуры. Эта симметрия переводит сторону AD в BC, а точку E — в F. Значит, AE = CF = 5 см. Тогда BC = BF + CF = 3 + 5 = 8 см, следовательно, AD = 8 см.

Из периметра 2(AB + AD) = 28 получаем AB + AD = 14. Поэтому AB = 14 − 8 = 6 см.

Ответ: стороны параллелограмма — 6 см и 8 см.

2. Разность оснований равна 10 − 6 = 4 см. В прямоугольной трапеции горизонтальная проекция наклонной боковой стороны равна этой разности. Угол 45° задаёт прямоугольный треугольник с острым углом 45°, поэтому его катеты равны: высота трапеции составляет 4 см. Другая боковая сторона наклонная и равна 4√2 см, поэтому меньшая боковая сторона — высота.

Ответ: 4 см.