8 класс, C—3, B—2. 1. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см. 2. Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, основания которой равны 12 см и 6 см, а один из углов равен 60°.

1. Пусть сторона параллелограмма, прилежащая к стороне BC, равна a, а BC равна b. Так как M лежит на BC и на биссектрисе угла A, расстояния от M до сторон AB и AD равны. Поскольку AB ∥ CD и M лежит на BC, это означает, что M равноудалена от AB и CD; следовательно, M — середина BC, а AB = AD +? Удобнее использовать условие, что M также лежит на биссектрисе угла D: точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла D, то есть от AD и DC. Из геометрии биссектрис углов параллелограмма, пересекающихся на BC, следует AB = 2AD.

Пусть AD = BC = x. Тогда AB = 2x. Периметр равен 2(AB + AD) = 36, поэтому AB + AD = 18. Получаем 3x = 18, откуда x = 6 и AB = 12.

Ответ: стороны параллелограмма — 6 см и 12 см.

2. Разность оснований равнобедренной трапеции равна 12 − 6 = 6 см. При опускании высот эта разность делится поровну: проекция каждой боковой стороны на большее основание равна 6 : 2 = 3 см. Угол 60° образует с основанием прямоугольный треугольник, в котором прилежащий катет равен 3 см, а гипотенуза — боковая сторона l. Поэтому l · cos 60° = 3, откуда l · 0,5 = 3 и l = 6 см.

Ответ: 6 см.