8 класс, С—3, В—1. 1. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AD и BC в точках E и F соответственно. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 28 см, AE = 5 см, BF = 3 см. 2. Найдите меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 10 см и 6 см, а один из углов равен 45°.

1. Обозначим точку пересечения диагоналей через O. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — центр симметрии параллелограмма. При центральной симметрии сторона AD переходит в BC, а точка E — в точку F. Следовательно, E, O и F лежат на одной прямой, а O — середина EF.

Значит, расстояния от концов параллельных сторон до E и F попарно равны: AE = CF, а DE = BF. Поэтому CF = 5 см и DE = 3 см. Тогда AD = AE + DE = 5 + 3 = 8 см.

Пусть AB = x. Из периметра 2(AB + AD) = 28 получаем AB + AD = 14, поэтому x + 8 = 14 и AB = 6 см.

Ответ: стороны параллелограмма — 6 см и 8 см.

2. Разность оснований прямоугольной трапеции равна 10 − 6 = 4 см. Эта разность является горизонтальной проекцией наклонной боковой стороны. Острый угол между ней и основанием равен 45°: в прямоугольной трапеции один угол прямой, а соседние с наклонной стороной углы дополнительны.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой трапеции и разностью оснований, при угле 45° катеты равны. Следовательно, высота равна 4 см. Боковые стороны — высота 4 см и наклонная сторона, которая больше высоты. Значит, меньшая боковая сторона равна 4 см.

Ответ: 4 см.