8 класс, С—3, В—2. 1. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см. 2. Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, основания которой равны 12 см и 6 см, а один из углов равен 60°.

1. Пусть AB = CD = a, AD = BC = b. Так как M лежит на BC, луч BM направлен вдоль BC. В параллелограмме соседние углы A и B дополнительны, поэтому их биссектрисы перпендикулярны: угол между биссектрисами равен половине суммы углов A и B, то есть 90°.

Треугольник ABM прямоугольный при M. Поскольку AM — биссектриса угла A, угол BAM равен половине угла A. Из прямоугольного треугольника следует, что AB = BM: катет BM, лежащий напротив угла BAM, равен гипотенузе AB, умноженной на синус половины угла A; одновременно из того, что M лежит на BC и DM — биссектриса угла D, получается равенство оставшихся отрезков на BC, откуда BC = 2AB. Иначе это равенство следует непосредственно из условия, что биссектриса D также проходит через M: для точки на BC расстояния до прямых AD и DC равны, что даёт BC = 2AB.

Периметр равен 2(AB + BC) = 36, значит AB + BC = 18. При BC = 2AB получаем 3AB = 18, откуда AB = 6 см и BC = 12 см.

Ответ: стороны параллелограмма — 6 см и 12 см.

2. В равнобедренной трапеции разность оснований делится поровну между двумя прямоугольными треугольниками у боковых сторон. Горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна (12 − 6) : 2 = 3 см.

Угол при большем основании равен 60° либо при меньшем основании равен 60°; в обоих случаях острый угол в образованном прямоугольном треугольнике равен 60°. Если l — боковая сторона, то cos 60° = 3/l, поэтому l = 3 : 0,5 = 6 см.

Ответ: 6 см.