Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика8 класс ГЕОМЕТРИЯ Контрольная работа №6 по теме «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей» Вариант 2 S R P 1. Какие из углов, представленных на рисунке, равны 90°? a) ∠MNO; 6) ∠SKT; в) правильного варианта ответа нет. M K 0 T 2. Центральный и вписанный углы опираются на дугу окружности в 60°. Чему равен центральный и вписанный углы? 3. Четырёхугольник КМНР вписан в окружность. Угол КНР=35°, угол НКР=45°. Найдите угол КМН. 4. Дана прямоугольная трапеция ABCD (ZA = 90°), в которую вписана окружность радиусом 9 см. Сторона CD равна 24 см. Найди среднюю линию трапеции. 5. К окружности с центром в точке О проведены касательная МН и секущая МО. Найдите радиус окружности, если МН= 4 см, МО = 5 см. 6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 27°, ∠ABD=61° и ∠BDC=73°. Найдите углы четырёхугольника. К задачам 2 и 3 запишите только ответ. К задаче 1 выберите правильный вариант ответа. Инструкция к выполнению контрольной работы: К задачам 4 и 5 запишите краткое решение и ответ. К задаче 6 запишите дано, решение и ответ.
Ответ:
Решение:
1. Углы, равные 90°:
На рисунке изображена окружность с вписанными углами. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым, то есть равен 90°.
- Угол ∠RPS опирается на дугу RS. Если RS является диаметром, то ∠RPS = 90°.
- Угол ∠RQS опирается на дугу RS. Если RS является диаметром, то ∠RQS = 90°.
- Угол ∠RTQ опирается на дугу RQ.
- Угол ∠MKN опирается на дугу MN.
Исходя из рисунка, мы видим, что линии, проходящие через центр K, делят окружность на две равные части, что подразумевает, что RS и MP являются диаметрами. Таким образом, вписанные углы, опирающиеся на эти диаметры, равны 90°.
Угол ∠MNO не опирается на диаметр. Угол ∠SKT является центральным углом. Судя по расположению, ∠SKT равен 90°.
Правильный вариант: в) правильного варианта ответа нет. (Так как ни один из предложенных углов a) ∠MNO, б) ∠SKT не очевидно равен 90° без дополнительных построений или информации о диаметрах).
2. Центральный и вписанный углы:
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Если дуга равна 60°, то:
- Центральный угол = 60°.
- Вписанный угол = 60° / 2 = 30°.
Ответ: Центральный угол 60°, вписанный угол 30°.
3. Угол четырёхугольника:
В четырёхугольнике КМНР, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.
- Дано: ∠КНР = 35°, ∠НКР = 45°.
- В треугольнике КНР: ∠KRN = 180° - 35° - 45° = 100°.
- ∠КМНР - вписанный четырёхугольник, значит, ∠КМН + ∠КНР = 180°.
- ∠КМН = 180° - ∠КНР = 180° - 35° = 145°.
Ответ: 145°.
4. Средняя линия трапеции:
Пусть ABCD — прямоугольная трапеция, ∠A = 90°, ∠B = 90°. В нее вписана окружность радиусом r = 9 см.
- В трапецию можно вписать окружность, если сумма противоположных сторон равна.
- AB + CD = AD + BC.
- Так как ABCD — прямоугольная трапеция, высота равна одной из боковых сторон (AB или CD, в зависимости от расположения углов). Если ∠A = 90° и ∠B = 90°, то AB является высотой, и AB = 2r = 2 * 9 = 18 см.
- CD = 24 см.
- 18 + 24 = AD + BC.
- 42 = AD + BC.
- Средняя линия трапеции (l) равна полусумме оснований (a и b) и параллельна им: l = (a + b) / 2.
- Основаниями трапеции являются AD и BC.
- l = (AD + BC) / 2 = 42 / 2 = 21 см.
Решение:
1. Радиус вписанной окружности r = 9 см. Для прямоугольной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, равна диаметру вписанной окружности. Значит, одна из сторон трапеции, параллельная основаниям, равна 2r = 18 см.
2. В данном случае, если ∠A = 90°, то сторона AB = 2r = 18 см. Если ∠B = 90°, то также AB = 18 см. Для возможности вписать окружность, сумма противоположных сторон должна быть равна: AB + CD = AD + BC. Подставляем известные значения: 18 + 24 = AD + BC, то есть AD + BC = 42 см.
3. Средняя линия трапеции вычисляется по формуле: $$l = \frac{AD + BC}{2}$$.
4. Подставляем найденное значение суммы оснований: $$l = \frac{42}{2} = 21$$ см.
Ответ: 21 см.
5. Радиус окружности:
Рассмотрим прямоугольный треугольник МОН, где О — центр окружности, Н — точка касания, М — точка на касательной.
- МН = 4 см (касательная).
- МО = 5 см (секущая, проходящая через центр).
- По теореме Пифагора: $$OH^2 + MH^2 = MO^2$$.
- $$OH^2 + 4^2 = 5^2$$.
- $$OH^2 + 16 = 25$$.
- $$OH^2 = 25 - 16 = 9$$.
- $$OH = \sqrt{9} = 3$$ см.
- OH — это радиус окружности.
Решение:
1. Треугольник МОН является прямоугольным, так как касательная (МН) перпендикулярна радиусу (ОН), проведенному в точку касания.
2. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике МОН имеем: $$OH^2 + MH^2 = MO^2$$.
3. Подставляем известные значения: $$OH^2 + 4^2 = 5^2$$, что дает $$OH^2 + 16 = 25$$.
4. Решаем уравнение относительно $$OH^2$$: $$OH^2 = 25 - 16 = 9$$.
5. Находим радиус $$OH = \sqrt{9} = 3$$ см.
Ответ: 3 см.
6. Углы четырёхугольника:
Дано: ABCD — вписанный четырёхугольник.
- ∠DBC = 27°
- ∠ABD = 61°
- ∠BDC = 73°
Найти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.
Решение:
- Находим углы треугольников:
- В △ABD: ∠BAD = 180° - ∠ABD - ∠BDA. Чтобы найти ∠BDA, нам нужно знать ∠BDC.
- ∠BDA = ?
- В △BCD: ∠BCD = 180° - ∠CBD - ∠BDC = 180° - 27° - 73° = 180° - 100° = 80°.
- Находим ∠BDA:
- Углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
- ∠BDA опирается на дугу AB.
- ∠BCA опирается на дугу AB.
- ∠CAD опирается на дугу CD.
- ∠CBD = 27° опирается на дугу CD, значит ∠CAD = 27°.
- ∠BAC опирается на дугу BC.
- ∠BDC = 73° опирается на дугу BC, значит ∠BAC = 73°.
- Находим углы четырёхугольника:
- ∠D = ∠BDA + ∠BDC. Нам пока неизвестен ∠BDA.
- ∠B = ∠ABD + ∠DBC = 61° + 27° = 88°.
- ∠C = 80° (найдено ранее).
- ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 73° + 27° = 100°.
- Так как ABCD — вписанный четырёхугольник, сумма противоположных углов равна 180°.
- ∠A + ∠C = 100° + 80° = 180° (верно).
- ∠B + ∠D = 180°.
- 88° + ∠D = 180°.
- ∠D = 180° - 88° = 92°.
- Проверим ∠D, используя ∠BDA.
- В △ABD: ∠ABD = 61°, ∠BAD = 100°, ∠BDA = 180° - 61° - 100° = 19°.
- ∠D = ∠BDA + ∠BDC = 19° + 73° = 92°.
Ответ: ∠A = 100°, ∠B = 88°, ∠C = 80°, ∠D = 92°.
