8) log₂x - 3 logₓ 4 = 1

Привет! Давай разберем это логарифмическое уравнение.

У нас есть уравнение: log₂x - 3 logₓ 4 = 1

Шаг 1: Приведем логарифмы к одному основанию.

Мы знаем, что logₓ 4 можно переписать как 1 / log₄ x. Но это не очень удобно. Давай используем свойство смены основания логарифма: logₐ b = 1 / log<0xE2><0x82><0x99> a.

Поэтому, logₓ 4 = logₓ 2² = 2 logₓ 2. А logₓ 2 = 1 / log₂ x. Значит, logₓ 4 = 2 / log₂ x.

Подставим это в наше уравнение:

log₂x - 3 * (2 / log₂ x) = 1

log₂x - 6 / log₂ x = 1

Шаг 2: Введем замену переменной.

Пусть y = log₂ x. Тогда уравнение примет вид:

y - 6 / y = 1

Шаг 3: Решим полученное уравнение.

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части на y (при условии, что y ≠ 0, что означает log₂ x ≠ 0, то есть x ≠ 1):

y² - 6 = y

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

y² - y - 6 = 0

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По Виета: сумма корней равна 1, произведение равно -6. Это числа 3 и -2.

y₁ = 3

y₂ = -2

Шаг 4: Сделаем обратную замену.

Вспомним, что y = log₂ x.

Случай 1: log₂ x = 3

Чтобы найти x, возведем 2 в степень 3:

x = 2³ = 8

Случай 2: log₂ x = -2

x = 2⁻² = 1 / 2² = 1/4

Шаг 5: Проверим корни.

Обязательно нужно проверить, что основания логарифмов (x и 4) положительны и не равны 1, а аргументы логарифмов (x) также положительны.

Для x = 8:

log₂ 8 — существует.

log₈ 4 — существует (основание 8 > 0, ≠ 1; аргумент 4 > 0).

8 > 0.

Для x = 1/4:

log₂ (1/4) — существует.

log<0xE2><0x82><0x81>⁄₄ 4 — существует (основание 1/4 > 0, ≠ 1; аргумент 4 > 0).

1/4 > 0.

Оба корня подходят.

Ответ: x = 8, x = 1/4