8. Медианы грани ABC тетраэдра OABC пересекаются в точке M. Разложите вектор \(\overrightarrow{CA}\) по векторам \(\overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{OC},\ \overrightarrow{OM}\).

Обозначим радиус-векторы точек относительно O буквами \(\vec a=\overrightarrow{OA}\), \(\vec b=\overrightarrow{OB}\), \(\vec c=\overrightarrow{OC}\). Точка пересечения медиан треугольника ABC — его центр тяжести, поэтому \(\overrightarrow{OM}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}\).

Отсюда \(\vec a=3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\). Тогда

\[\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}.\]

Ответ: \(\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}+3\overrightarrow{OM}\).