№8 На координатной плоскости постройте точки с координатами А (-4; 4), В (3; 1), C (-3; -4). Определите вид полученного треугольника, определите координату точки пересечения биссектрис, найдите периметр данного треугольника.

Решение:

1. Построение точек и треугольника:

Построим точки на координатной плоскости:

• A (-4; 4)
• B (3; 1)
• C (-3; -4)

Соединим точки, чтобы получить треугольник ABC.

2. Определение вида треугольника:

Найдем длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \):

• AB = \( \sqrt{(3 - (-4))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{7^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58} \)
• BC = \( \sqrt{(-3 - 3)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \)
• AC = \( \sqrt{(-3 - (-4))^2 + (-4 - 4)^2} = \sqrt{1^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65} \)

Так как все стороны имеют разную длину (\( \sqrt{58}
e \sqrt{61}
e \sqrt{65} \)), треугольник ABC является разносторонним.

Для определения типа угла проверим теорему Пифагора:

• \( AB^2 + BC^2 = 58 + 61 = 119 \)
• \( AC^2 = 65 \)

Так как \( AB^2 + BC^2 > AC^2 \), \( AB^2 + AC^2 > BC^2 \), \( BC^2 + AC^2 > AB^2 \), все углы в треугольнике острые. Следовательно, треугольник ABC является остроугольным.

3. Определение координаты точки пересечения биссектрис (инцентра):

Координаты инцентра \( I(x, y) \) находятся по формуле:

\( x = \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a + b + c} \)

\( y = \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a + b + c} \)

Где \( a, b, c \) — длины сторон, противолежащих вершинам A, B, C соответственно, а \( (x_A, y_A), (x_B, y_B), (x_C, y_C) \) — координаты вершин.

\( a = BC = \sqrt{61} \)

\( b = AC = \sqrt{65} \)

\( c = AB = \sqrt{58} \)

\( x_A = -4, y_A = 4 \)

\( x_B = 3, y_B = 1 \)

\( x_C = -3, y_C = -4 \)

\( x = \frac{\sqrt{61}(-4) + \sqrt{65}(3) + \sqrt{58}(-3)}{\sqrt{61} + \sqrt{65} + \sqrt{58}} \approx \frac{-31.24 + 26.28 - 22.18}{7.81 + 8.06 + 7.62} \approx \frac{-27.14}{23.49} \approx -1.155 \)

\( y = \frac{\sqrt{61}(4) + \sqrt{65}(1) + \sqrt{58}(-4)}{\sqrt{61} + \sqrt{65} + \sqrt{58}} \approx \frac{31.24 + 8.06 - 30.52}{23.49} \approx \frac{8.78}{23.49} \approx 0.374 \)

Примерное положение инцентра: (-1.155; 0.374).

4. Нахождение периметра треугольника:

Периметр \( P \) — это сумма длин всех сторон:

\( P = AB + BC + AC = \sqrt{58} + \sqrt{61} + \sqrt{65} \)

\( P \approx 7.62 + 7.81 + 8.06 = 23.49 \)

Ответ:

Вид треугольника: разносторонний, остроугольный.

Координаты точки пересечения биссектрис (инцентра): примерно (-1.155; 0.374).

Периметр треугольника: \( \sqrt{58} + \sqrt{61} + \sqrt{65} \) (приблизительно 23.49).