8. На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и №. Известно, что ∠NBA = 5°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Нам дана окружность с диаметром \( AB \). Точки \( M \) и \( N \) находятся на окружности по разные стороны от диаметра. Известно, что \( \angle NBA = 5^{\circ} \). Нужно найти \( \angle NMB \).

1. Угол \( \angle NBA \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( NA \).
2. Угол \( \angle NMA \) — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу \( NA \).
3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, \( \angle NMA = \angle NBA = 5^{\circ} \).
4. Угол \( \angle NMB \) является частью угла \( \angle NMA \).
5. Угол \( \angle NMB \) — это прямой угол, так как он опирается на диаметр \( AB \) (вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен \( 90^{\circ} \)).
6. Таким образом, \( \angle NMA = \angle NMB + \angle BMA \) или \( \angle NMA = \angle NMB - \angle AMB \) в зависимости от расположения точек.
7. Рассмотрим треугольник \( NBA \). \( \angle NAB = 90^{\circ} \) (опирается на диаметр).
8. Угол \( \angle BMA \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( BA \) (диаметр). Значит \( \angle BMA = 90^{\circ} \).
9. Однако, это не совсем верно. Угол \( \angle BMA \) опирается на диаметр \( AB \), следовательно, \( \angle BMA = 90^{\circ} \).
10. Рассмотрим треугольник \( NMB \). Угол \( \angle NBM \) равен \( \angle NBA = 5^{\circ} \) (так как \( M \) и \( N \) расположены по разные стороны от \( AB \) и \( N \) ближе к \( A \), а \( M \) ближе к \( B \) по рисунку).
11. В треугольнике \( NMB \), \( \angle MNB \) опирается на диаметр \( AB \), значит \( \angle MNB = 90^{\circ} \).
12. Сумма углов в треугольнике \( NMB \) равна \( 180^{\circ} \).
13. \( \angle NMB + \angle MNB + \angle NBM = 180^{\circ} \)
14. \( \angle NMB + 90^{\circ} + 5^{\circ} = 180^{\circ} \)
15. \( \angle NMB + 95^{\circ} = 180^{\circ} \)
16. \( \angle NMB = 180^{\circ} - 95^{\circ} = 85^{\circ} \)

Ответ: 85.