8. На основании BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M и N так, что BM = CN. Докажите, что: а) △BAM = △CAN; б) треугольник AMN равнобедренный.

Дано: △ABC — равнобедренный с основанием BC, поэтому AB = AC. Точки M и N лежат на основании BC, BM = CN.

а) Докажем, что △BAM = △CAN.

1. AB = AC, так как △ABC равнобедренный.
2. BM = CN по условию.
3. ∠ABM = ∠ACN, так как это углы при основании равнобедренного треугольника ABC: ∠ABC = ∠BCA.

Следовательно, △BAM = △CAN по двум сторонам и углу между ними (SAS).

б) Докажем, что треугольник AMN равнобедренный.

В равных треугольниках соответствующие стороны равны, поэтому AM = AN.

Значит, △AMN равнобедренный, его основание — MN.

Ответ: а) △BAM = △CAN; б) △AMN равнобедренный, AM = AN.