8. На рисунке 110 изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (-8; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 8 или совпадает с ней.

Решение:

Нам нужно найти количество точек, где касательная к графику функции \( y = f(x) \) параллельна прямой \( y = 8 \) или совпадает с ней. Это означает, что нам нужно найти точки, где производная функции \( f'(x) \) равна нулю, так как прямая \( y = 8 \) является горизонтальной линией, и её угловой коэффициент равен 0.

На графике горизонтальная прямая \( y = 8 \) соответствует максимальным или минимальным точкам функции, где касательная является горизонтальной (то есть параллельна оси абсцисс).

Рассмотрим график функции \( y = f(x) \) на интервале \( (-8; 8) \). Нам нужно посчитать количество точек, где график достигает локального максимума или минимума. Эти точки будут иметь горизонтальную касательную.

Проанализируем график:

• В районе \( x \approx -7 \) есть локальный максимум, где \( y \approx 8 \). Касательная здесь горизонтальна.
• В районе \( x \approx -5 \) есть локальный минимум.
• В районе \( x \approx -3 \) есть локальный максимум.
• В районе \( x \approx -1 \) есть локальный минимум.
• В районе \( x \approx 1 \) есть локальный максимум.
• В районе \( x \approx 3 \) есть локальный минимум, где \( y \approx -4 \).
• В районе \( x \approx 5 \) есть локальный максимум, где \( y \approx 4 \).
• В районе \( x \approx 7 \) есть локальный минимум.
• В районе \( x \approx 8 \) (конец интервала, точка не включается) есть локальный максимум, где \( y \approx 6 \).

Нам нужны точки, где касательная параллельна прямой \( y = 8 \) или совпадает с ней. Прямая \( y = 8 \) — это горизонтальная линия. Касательная будет параллельна ей или совпадать с ней в точках, где производная функции равна нулю. На графике это соответствуют вершинам (максимумам и минимумам) функции.

На графике видно, что функция достигает максимального значения, близкого к 8, в районе \( x \approx -7 \). Других точек, где \( y = 8 \) или близко к нему, а касательная горизонтальна, не наблюдается. Однако, если мы ищем точки, где производная равна нулю (горизонтальная касательная), то это точки экстремума.

Давайте пересчитаем точки экстремума на графике:

• Точка максимума около \( x = -7 \), где \( y \approx 8 \).
• Точка минимума около \( x = -5 \).
• Точка максимума около \( x = -3 \).
• Точка минимума около \( x = -1 \).
• Точка максимума около \( x = 1 \).
• Точка минимума около \( x = 3 \).
• Точка максимума около \( x = 5 \).
• Точка минимума около \( x = 7 \).

Всего на графике 8 точек, где касательная горизонтальна (параллельна оси абсцисс). Поскольку прямая \( y = 8 \) также горизонтальна, касательные в этих точках будут параллельны \( y = 8 \).

Важно отметить, что в условии сказано \( y = 8 \), а на графике есть точка, где \( y \approx 8 \) (локальный максимум около \( x = -7 \)). Если бы там было точно \( y = 8 \), это была бы одна из таких точек. Если мы ищем точки, где \( f'(x) = 0 \), то это все точки экстремума.

Подсчитаем количество