8. На рисунке ABCD: AD = 30, ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°, ∠ABC = 135°. Найти: BC.

В треугольнике BCD угол при C равен 90°, а угол BDC равен 45°. Значит, угол CBD тоже равен 45°, и треугольник BCD — равнобедренный прямоугольный. Поэтому BC = CD.

Поскольку BC ⟂ CD и BC = CD, диагональ BD образует с основанием AD угол 45°. Угол ABC равен 135°, поэтому угол между AB и горизонтальным направлением AD равен 45°; следовательно, в треугольнике ABD угол BAD = 45°. Тогда треугольник ABD — равнобедренный прямоугольный, и AB = BD.

Пусть BC = CD = x. Тогда BD = x√2 и AB = x√2. Горизонтальная проекция AB на AD равна x, а горизонтальная проекция BD равна x, поэтому AD = x + x = 2x. Из 30 = 2x получаем x = 15.

Ответ: BC = 15.