8. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-4; 7). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [-3; 3].

Решение:

Точки экстремума функции f(x) — это точки, в которых её производная f'(x) равна нулю или не существует. На графике производной (ось y = f'(x)) мы ищем точки, где график пересекает ось x, или точки, где производная не определена (таких на данном графике нет).

Анализируя график, видим, что функция f'(x) пересекает ось x в трех точках на интервале (-4; 7). Эти точки соответствуют x = -3, x = 0 и x = 5.

Нас интересует отрезок [-3; 3]. На этом отрезке производная f'(x) равна нулю в двух точках: x = -3 и x = 0.

Чтобы определить, является ли точка экстремумом, нужно посмотреть на знак производной до и после этой точки:

• В точке x = -3: слева от -3 (например, при x = -3.5) f'(x) < 0, справа от -3 (например, при x = -2) f'(x) > 0. Это означает, что функция f(x) убывает, а затем возрастает, следовательно, x = -3 — точка минимума.
• В точке x = 0: слева от 0 (например, при x = -2) f'(x) > 0, справа от 0 (например, при x = 1) f'(x) < 0. Это означает, что функция f(x) возрастает, а затем убывает, следовательно, x = 0 — точка максимума.

На отрезке [-3; 3] у нас есть две точки, где производная равна нулю: x = -3 и x = 0. Обе являются точками экстремума.

Ответ: -3 и 0.