8. На рисунке изображен график y = f'(x) на интервале (-2; 11). В какой точке отрезка отрезка [-1; 6] функция f(x) принимает наибольшее значение?

Анализ:

• Чтобы функция f(x) принимала наибольшее значение на отрезке, нужно найти точку, где её производная f'(x) меняет знак с "-" на "+" (минимум) или где производная равна нулю и функция убывает до этой точки, а затем возрастает.
• Ищем на графике f'(x) точки, где f'(x) = 0. Это точки пересечения графика с осью абсцисс (осью x).
• По графику видно, что f'(x) = 0 в точках x = -1, x = 5 и x = 11.
• Нас интересует отрезок [-1; 6]. В этом отрезке точки, где f'(x) = 0, это x = -1 и x = 5.
• Рассмотрим поведение функции f(x) до и после этих точек:
  • До x = -1: На интервале (-2; -1), график f'(x) находится ниже оси x, значит f'(x) < 0. Это означает, что функция f(x) убывает.
  • Между x = -1 и x = 5: На интервале (-1; 5), график f'(x) находится выше оси x, значит f'(x) > 0. Это означает, что функция f(x) возрастает.
  • Между x = 5 и x = 11: На интервале (5; 11), график f'(x) находится ниже оси x, значит f'(x) < 0. Это означает, что функция f(x) убывает.
• Вывод:
  • В точке x = -1 функция f(x) имеет минимум (так как производная меняет знак с "-" на "+").
  • В точке x = 5 функция f(x) имеет максимум (так как производная меняет знак с "+" на "-").
• Поскольку нам нужно найти наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-1; 6], мы сравниваем значения функции в точках минимума/максимума внутри отрезка и на концах отрезка.
• Точка x = -1 является началом отрезка и точкой минимума.
• Точка x = 5 является точкой максимума внутри отрезка.
• Конец отрезка - x = 6. В интервале (5; 6) производная f'(x) отрицательна, значит функция f(x) убывает.
• Следовательно, наибольшее значение будет в точке максимума, которая находится внутри отрезка, либо на одном из концов отрезка.
• Так как функция возрастает до x=5 и убывает после x=5, то x=5 является точкой локального максимума.
• Нам нужно сравнить значение функции в точках, где производная равна нулю или на границах отрезка. Это x=-1, x=5, x=6.
• Так как в точке x=5 производная меняет знак с '+' на '-', это точка максимума. Значит, на интервале [-1; 6], наибольшее значение будет достигаться в точке x=5.

Ответ: 5