8. На рисунке представлена схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К, Л, М. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город М, проходящих через город Г? Дайте ответ с обоснованием.

Решение:

Для решения задачи будем использовать метод подсчета количества путей, исходящих из начальной точки и ведущих к конечной, с учетом ограничений (движение только по стрелке и прохождение через город Г).

1. Пути из А в Г:

• А → Б → Г: 1 путь
• А → В → Г: 1 путь
• А → Д → Г: 1 путь
• А → Б → В → Г: 1 путь
• А → Б → Д → Г: 1 путь
• А → В → Д → Г: 1 путь
• А → Б → В → Д → Г: 1 путь

Всего путей из А в Г: 7.

2. Пути из Г в М:

• Г → Ж → М: 1 путь
• Г → И → М: 1 путь
• Г → К → М: 1 путь
• Г → Ж → И → М: 1 путь
• Г → Ж → К → М: 1 путь
• Г → И → К → М: 1 путь
• Г → Ж → И → К → М: 1 путь

Всего путей из Г в М: 7.

3. Общее количество путей из А в М через Г:

Чтобы найти общее количество путей из А в М, проходящих через Г, нужно перемножить количество путей из А в Г и количество путей из Г в М.

\( 7 \text{ путей (А → Г)} \times 7 \text{ путей (Г → М)} = 49 \text{ путей} \)

Обоснование:

Граф представляет собой ориентированную сеть. Для подсчета путей между двумя точками, проходящими через промежуточную точку, мы сначала находим все возможные пути от начальной точки до промежуточной, а затем от промежуточной точки до конечной. Так как выбор пути на первом этапе не влияет на выбор пути на втором этапе, общее количество комбинаций равно произведению количества путей на каждом этапе.

Детальный подсчет путей:

Из А в Г:

• А → Б: 1
• А → В: 1
• А → Д: 1
• (А → Б) → В: 1
• (А → Б) → Д: 1
• (А → В) → Д: 1
• (А → Б → В) → Д: 1
• Сумма путей до Г: 7

Из Г в М:

• Г → Ж: 1
• Г → И: 1
• Г → К: 1
• (Г → Ж) → И: 1
• (Г → Ж) → К: 1
• (Г → И) → К: 1
• (Г → Ж → И) → К: 1
• Сумма путей до М: 7

Итого: 7 * 7 = 49.

Ответ: 49.